数列求与及极限

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1、数列求和及极限【知识及方法归纳】1、数列求和主要有以下几种常见方法:(1)公式法;(2)通项转移法;(3)倒序相加法;(4)裂项相消法;(5)错项消法;(6)猜想、证明(数学归纳法)。2、能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限;求无穷等比数列各项的和。【学法指导】1、在公式法求和中,除等差、等比的求和公式外,还应掌握自然数方幂数列的求和公式,如:+++…+=;2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列,可通过对数列通项结构特点的分析研究,将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差;3、将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项易求和,这样的数列常用倒

2、序相加,如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到;4、利用裂项变换改写数列的通项公式,通过消去中间项达到求和的目的;5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列,其求和的方法类似于推导等比数列前n项和公式的方法,通过乘于等比数列的公比,在错位相减,转化为等比数列的求和问题;6、通过对、、…进行归纳,分析,寻求规律,猜想出,然后再用数学归纳法给予证明。【典型例题】例1求和:+++…+【分析】这是一个通项为的数列求前n项和,对通项公式展开可得:=,所以对原数列求和分解为3个新数列求和,可用方法2求和。【简解】+++…+=()+()+…+()=4(+++…+)–4·(1+2+

3、3+…+n)+n=4。。例2求和:…+【分析】这是一个通项为的数列求前n项和,观察通项,不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积,可用方法5求和。【简解】设=…+,则=+…+,所以=1++…+=1+…)–=1+–=,所以=。例3求,…的前n项和【分析】先写出此数列的通项==,它属于用方法4,即裂项求和。【简解】因为==,所以=6[(1-)+(-)+…+(-)]=。例4若=,求【分析】由于所求的和与n的奇偶有关,所以按n的奇偶分两类分别求和。【简解】=–2+7–12+17–22+27–…+,当n为奇数时,=–5n+3=,当n为偶数时,==。例5在等比数列{}中,=()=,则的取值范围

4、是多少?【分析】无穷等比数列的各项和是指前n项和的极限。当

5、q

6、<1时,=;当

7、q

8、≥1时,这一极限不存在。即在无穷等比数列中,

9、q

10、<1(q≠0)是存在的充要条件。所以特别要注意公式S==的含义及适用范围。因此由=可得:q=1-4,因为0<

11、q

12、<1,所以0<

13、1-4

14、<1,即:0<<,且≠。【简解】得的取值范围是(0,)∪(,)。【复习练习】一、选择题1、等差数列{}、{}的前n项和分别为与,若,则等于()A、1B、C、D、2、等差数列{}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A、130B、170C、210D、2603、等比数列{}中,>1,且前n项和满足=

15、,则的取值范围是()A、(1、+∞)B、(1、4)C、(1、2)D、(1、)4、根据时常调查结果,预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量(万件)近似地满足=(n=1,2,…,12)。按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是()A、5月、6月B、6月、7月C、7月、8月D、8月、9月5、若一个等差数列的前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()A、13项B、12项C、11项D、10项一、填空题1、设a>1,则=。2、已知等差数列{}的公差d>0,首项>0,=,则=。3、已知等比数列{}(∈R),=9,=27,且=(n=1、2…),

16、则=。4、设0<a<b,则=。5、若数列{}的通项为(n∈N),则()=。二、解答题1、已知数列,,…,,…为其前n项的和,计算得=,=,=,=。观察上述结果,推测计算的公式,并用数学归纳法证明。2、设数列{}的前n项和为,若对所有的正自然数n,都有=。证明:{}是等差数列。1、{}是正数组成的数列,前n项和为,且对所有n∈,与2的等差中项等于与2的等比中项。(1)写出数列{}的前3项;(2)求数列{}的通项公式(写出推证过程);(3)令=(+)(n∈),求lim(++…+-n)。1、设{}是正数组成的等比数列,前n项和为。(1)证明:<;(2)是否存在常数c>0,使得=成立?并证明

17、你的结论。2、设{}为等比数列,=,已知=1,=4。(1)求数列{}的首项和公比;(2)求数列{}的通项公式。3、已知{}是首项为2,公比为的等比数列,前n项和为。(1)用表示;(2)是否存在自然数c和k,使得>2成立。

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