高考数学导数压轴题之导数研究函数的零点含答案.doc

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1、专题：导数研究函数的零点问题（2018•榆林二模）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax），（a∈R）．（2）若函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．②当a＞0时，令h'（x）=0，可得，列表：xh'（x）+0﹣h（x）↗极大值↘若，即，，即f'（x）≤0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，函数f（x）在（0，+∞）上不存在极值，与题意不符，若，即时，由于，且=，故存在，使得h（x）=0，即f'（x）=0，且当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，x1）上单调递减；当时，f'（x）＞0，函

2、数f（x）在（0，x1）上单调递增，函数f（x）在x=x1处取极小值．由于，且=（事实上，令，=，故μ（a）在（0，1）上单调递增，所以μ（a）＜μ（1）=﹣1＜0）．故存在，使得h（x）=0，即f'（x）=0，且当时，f'（x）＞0，函数f（x）在上单调递增；当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（x2，+∞）上单调递减，函数f（x）在x=x2处取极大值．综上所述，当时，函数f（x）在（0，+∞）上既有极大值又有极小值．（2018•河南一模）已知：f（x）=（2﹣x）ex+a（x﹣1）2（a∈R）（2）若对

3、任意的x∈R，都有f（x）≤2ex，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=（1﹣x）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（2a﹣ex），当a≤0时，函数在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减；当时，函数在（﹣∞，ln2a），（1，+∞）上递减，在（ln2a，1）上递增；当时，函数在（﹣∞，1），（ln2a，+∞）上递减，在（1，ln2a）上递增；当时，函数在R上递减；（2）由对任意的x∈R，f（x）≤2ex，即（2﹣x）ex+a（x﹣1）2≤2ex，当x=1时，ex+a（x﹣1）2≤2ex，恒成立，当x≠1时，整理得

4、：a≤，对任意x∈R恒成立，设g（x）=，求导g′（x）==，令g′（x）=0，解得：x=1±，当x=1+附近时，当x＞1+，g′（x）＞0，当1＜x＜1+，f′（x）＜0，∴当x=1+时取极小值，极小值为，当x=1﹣附近时，当x＞1﹣，g′（x）＞0，当x＜1﹣，g′（x）＜0，当x=1﹣时取极小值，极小值为，由＜，∴g（x）的最小值为，由题意对任意的x∈R，都有f（x）≤2ex，即a≤f（x）最小值，∴a的取值范围（﹣∞，]．本资料分享自千人QQ群323031380高中数学资源大全（2018•乌鲁木齐模拟）已知函数f（x

5、）=aex﹣x2．（2）若关于x的方程f（x）+x2﹣x=0有两个不相等的实根，求a的取值范围．【解答】（2）设g（x）=f（x）+x2﹣x=aex﹣x，即g（x）有2个零点，g′（x）=aex﹣1，若a≤0，g′（x）＜0，故g（x）递减，∴g（x）至多有1个零点，若a＞0，g′（x）＜0，得x＜ln，g′（x）＞0，得x＞ln，故g（x）在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，故g（x）min=g（ln）=1+lna＜0，即a＜，故0＜a＜，此时＞e，即ln＞1，当x＜0时，g（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，ln）上

6、必有1个零点，由（1）知当x＞时，ex＞x2，即g（x）=x（ax﹣1）＞0，而ex＞x2＞x，得x＞lnx，∴＞ln，故g（x）在（ln，+∞）上必有1个零点，综上，0＜a＜时，关于x的方程f（x）+x2﹣x=0有两个不相等的实根．【点评】本题考查了不等式的证明，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．（2018•烟台模拟）已知有两个零点．（1）求a的取值范围；【解答】解：（1），……………………（1分）当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）至多有一个零点．…………（2分

7、）当a＞0时，令f'（x）=0，解得，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当时函数取最小值．…………………（4分）①当0＜a≤e时，1﹣lna≥0，即，所以f（x）至多有一个零点．……………………（5分）②当a＞e时，1﹣lna≤0，即．因为，所以f（x）在有一个零点；………………（6分）因为lna≤a﹣1，所以ln2a≤2a﹣1，f（2a）=2a2﹣aln2a≥2a2﹣a（2a﹣1）=a＞0，由于，所以f（x）在有一个零点．综上，a的取值范围是（e，+∞）．………………………（7

8、分）本资料分享自千人QQ群323031380高中数学资源大全（2018•济宁一模）已知函数．（2）当a＞0时，证明函数g（x）=f（x）﹣（a+1）x恰有一个零点．解（2）证明：﹣（a+1）x，x＞0，∴，①当0＜a＜1时，由g'（x）＞0得0＜x＜a或x＞1，g'（x）＜0得a＜x＜1，