导数压轴题之导函数证明题.doc

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1、导函数证明复习题(汇编)1.（2014福建20）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.本小题主要考查导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用，考查抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等。满分14分。解法一：（I）由，得.又,得.所以.令,得.当时,单调递减;当时,单调递增.所以当时,取得极小值,且极小值为无极大值.（II）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此

2、,当时,,即.（III）①若,则.又由（II）知，当时,.所以当时,.取,当时，恒有.②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时,在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.解法二：（I）同解法一（II）同解法一（III）对任意给定的正数c，取由（II）知，当x>0时，，所以当时，因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.2.（2014湖北22）π为圆周率，e=2.71828…，为自然对数的底(1)求f(x)=的单调区间;(2)求e3、3e、π3、3π、eπ、πe

3、这六个数中的最大值与最小值；(1)e3、3e、π3、3π、eπ、πe这六个数从小到大的顺序排列,并证明你的结论.解：（I）函数的定义域为，因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；故函数的单调增区间为，单调减区间为.（II）因为，所以，，即，，于是根据函数、、在定义域上单调递增，所以，，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，由及（I）的结论得，即，由得，所以，由得，所以，综上，6个数中的最大数为，最小数为.（III）由（II）知，，，又由（II）知，，故只需比较与和与的大小，由（I）知，当时，，即，在上式中，令，又，则，即得①由①得，，即，亦即，所以，又由

4、①得，，即，所以，综上所述，，即6个数从小到大的顺序为，，，，，.3.（2014陕西21）设函数，其中是的导函数.（1），求的表达式；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.解：，，（1），，，，即，当且仅当时取等号。当时，当时，，即数列是以为首项，以1为公差的等差数列，当时，，（2）在范围内恒成立，等价于成立令，即恒成立，令，即，得当即时，在上单调递增所以当时，在上恒成立；当即时，在上单调递增，在上单调递减，所以设因为，所以，即，所以函数在上单调递减所以，即所以不恒成立综上所述，实数的取值范围为（3）由题设知：，比较结果为：证明如下：上述不等式等价

5、于在（2）中取，可得令，则，即故有上述各式相加可得：结论得证.4．（2013湖北）设是正整数,为正有理数.(I)求函数的最小值;(II)证明:;(III)设,记为不小于的最小整数,例如,,.令,求的值.(参考数据:,,,)【答案】证明:(I)在上单减,在上单增.(II)由(I)知:当时,(就是伯努利不等式了)所证不等式即为:若,则①,,故①式成立.若,显然成立.②,,故②式成立.综上可得原不等式成立.(III)由(II)可知:当时,5．（2013年大纲）已知函数(I)若时,,求的最小值;(II)设数列6.(2012年湖北22)（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0

6、），其中r为有理数，且0

7、。第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。【精讲精析】(I)所以在上单增。当时，。（II）由(I)，当x<0时，,即有故于是,即.利用推广的均值不等式：另解：，所以是上凸函数，于是因此，故综上：9.（2011湖北21）（Ⅰ）已知函数求函数的最大值；（Ⅱ）设均为正数，证明：（1）若，则（2）若，则。解：（Ⅰ）的定义域为，令，解得当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数；故函数在x=1处取得最大值（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当，有，即，，从而有