导数压轴题分类(6)--- 函数的隐零点问题(含答案)

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1、导数压轴分类（6）---函数的隐零点问题任务一、完成下面问题，总结隐零点问题的解题方法。例1.[2013湖北理10]已知为常数，函数有两个极值点，且，则（）A.＞0，＞B.＜0，＜C.＞0，＜D.＜0，＞例2.[2012全国文21]设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，为整数，且当＞时，＞，求的最大值。的最大值=2任务二、完成下面问题，体验隐零点问题的解题方法的应用。2.1[2015北京海淀二模理18]设函数.（Ⅰ）求函数的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标＜7提示解析：（Ⅰ）函数的零点为，单调减区

2、间；单调增区间；（Ⅱ）存在斜率为6的切线即存在点处导数为6，于是，即，令为增函数，易判断所以，所以为减函数，所以2.2[2013全国Ⅱ理21]设函数.（Ⅰ）若＝是的极值点，求＞，并讨论的单调性；（Ⅱ）当≤时，求证：＞.任务三、完成下面问题，体验隐零点问题解题的运用，提高解题能力。2．3.[2016广州一模理21]已知函数,．（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（Ⅱ）当时，证明：.（Ⅰ）解：因为，所以.………………………1分因为曲线在点处的切线斜率为，所以，解得.…………………………………………………2分7（Ⅱ）证法一：因为,，

3、所以等价于．当时，．要证，只需证明.………………4分以下给出三种思路证明．思路1：设，则.设，则．所以函数在上单调递增．…………………6分因为，，所以函数在上有唯一零点，且.8分因为，所以，即.………………9分当时，；当时，，所以当时，取得最小值.………………………………………10分所以.综上可知，当时，.……………………………………12分思路2：先证明．……………………………………………5分设，则．7因为当时，，当时，，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以（当且仅当时取等号）．…………………………………7分所以要证

4、明，只需证明．………………………………………………8分下面证明．设，则．当时，，当时，，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以（当且仅当时取等号）．……………………………10分由于取等号的条件不同，所以．综上可知，当时，.……………………………………12分（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明．令，转化为证明．……………………………………5分因为曲线与曲线关于直线对称，设直线与曲线、分别交于点、，点、到直线的距离分别为、，则．7其中，．①设，则．因为，所以．所以在上单调递增，则．所以．②设，则

5、．因为当时，；当时，，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．所以．所以．所以．综上可知，当时，.……………………………………12分证法二：因为,，所以等价于．…………………………4分以下给出两种思路证明．思路1：设，则.设，则．所以函数在上单调递增．………………6分7因为，所以，.所以函数在上有唯一零点，且.…8分因为，所以，即．………………9分当时，；当时，.所以当时，取得最小值．……………………………………10分所以．综上可知，当时，．……………………………………12分思路2：先证明，且．…………………5分设，则．因为当时，

6、；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值．所以，即．…………………………………7分所以（当且仅当时取等号）．…………………………………8分再证明．由，得（当且仅当时取等号）．…………9分因为，，且与不同时取等号，所以7．综上可知，当时，．……………………………………12分7