概率论与数理统计_10_二项分布.pdf

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1、概率论与数理统计第10讲二项分布张宏浩二项分布如果随机变量X的分布律为kknkPXkCp1pk0，1，，nn则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X~Bn，p其中n为自然数，0p1为参数说明显然，当n=1时X~B1，p此时，X服从Bernoulli分布．这说明，Bernoulli分布是二项分布的一个特例．二项分布的概率背景进行n次Bernoulli试验，设在每次试验中PAp，PA1pq令X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次

2、数．则X~Bn，p分布律的验证⑴．由于01p以及n为自然数，可知kknkCp1p0k0，1，，nn⑵．又由二项式定理，可知nkknknCnp1pp1p1k0所以kknkPXkCp1pk0，1，，nn是分布律．练习1一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？练习1解答一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至

3、少能答对4道题的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，1A答对一道题，则PA4则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．1设：X：该学生靠猜测能答对的题数则X~B5，4练习1解答（续）所以P至少能答对4道题PX4PX4PX5454131C5444164二项分布的分布形态若X~Bn，p，则PXkn1pk1PXk1k(1p)1,k(n1)p1,k(

4、n1)p1,k(n1)p如果n1p是整数，则kn1p或n1p1时，P(Xk)达到最大；如果若n1p不是整数，则kn1p时，P(Xk)达到最大；练习2对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？练习2解答对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoul

5、li试验．令：X：300射击中命中目标的次数．则由题意X~B300，0.44．由于30010.44132.44，它不是整数练习2解答（续）因此，最可能射击的命中次数为k0132.44132其相应的概率为132132168PX132C3000.440.560.04636期望与方差二项分布方法1：kknkP{Xk}Cpq,k0,1,,n。nnnkknkn!knkEXkCnpqkpqk0k0k!(nk)!n(n1)!k1n1(k1

6、)nppq(k1)!(n1(k1))!k1nn1k1k1n1(k1)iin1iEXnpCn1pqnpCn1pqk1i0n1np(pq)npnn22kknk2n!knkEXkCnpqkpqk0k0k!(nk)!nn!k1nkpkpq(k1)!(nk)!k1nnn!k1nkn!k1nkp(k1)pqppq(k1)!(nk)!(k1)!(nk)!k1k1n2(n2)!k2n2(k

7、2)n(n1)ppqnpk2(k2)!(n2(k2))!2n2222n(n1)p(pq)npnpnpnp2222222DXEX(EX)npnpnpnpnp(1p)npq方法2：X服从（0-1）分布，P{X0}q,P{X1}p,i1,2,,niii且X1,,Xn独立，令XX1Xn，则X的可能取值为0,1,…n，kknkP{Xk}Cpq,k0,,nnnnEXEXinp，DXDXinpq,i1i1小结：