随机变量函数分布脚本.doc

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1、随机变量函数的分布脚本这节课，我们来学习随机变量函数的分布。应用中，常常会用到随机变量的函数。显然，随机变量的函数也是随机变量，我们也需要研究它的概率分布。例如，分子运动的速度v，是随机变量，那么，分子运动的动能，1/2mV平方也是随机变量。【出现第一张PPT】现在的问题是，已知随机变量X的概率分布，如何求其函数Y=gX的概率分布呢？【出现第二张PPT】先来看离散型随机变量函数的分布。设X是离散型随机变量，它的分布列是已知的，容易知道Y=gX也是一个离散型随机变量。那么，如何求出X的函数Y=gX的分布律呢？根据X的分布律，对X能够取到的每一个小

2、xi，可以计算出对应的函数值g(xi)，容易得到下面这个表(…)，这是不是就是Y的分布律呢？还不一定！因为，gx1,gx2等等到gxn，它们中间可能有某些值相等，在分布律中不能重复出现，当gx1、gx2等等到gxn中，有某些值相等时，要把它们分别合并，即相同的值在分布律中只能出现一次，并把对应的概率相加，让Y的值从小到大排列，就可得到Y的分布律。【出现第三张PPT】下面，通过一个例子说明这种方法。已知随机变量X的分布律，是下面一个表(…)，求Y=x平方的分布律。这里，Y是X的函数，当X取值-1，0，1时，Y取对应值1，0，而且，“X取某值”与“

3、Y取其对应值”是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率。由于X取值-1和1时，Y的值都等于1，相同的值只能保留1个，所以需要将其合并，对应的概率值0.3和0.1相加，这样，我们就得到了Y=x平方的分布律，是下面这样的。(…)写出离散型随机变量函数的分布律，是不是很简单呢？希望你能够掌握这种方法。【出现第四张PPT】再来看连续型随机变量函数的分布。已知随机变量X的分布函数大FX，概率密度小f(x)，如何求随机变量Y=g(X)的分布函数大FY，概率密度小f(y)呢？通常使用的方法是：分布函数法。【出现第五张PPT】所谓分布函数法，是指首先从分布函数

4、入手，求Y=g(X)的概率分布。这种方法一般分为两步。第一步，求Y的分布函数大FY小y，即对任意的实数小y，求“大Y小于等于小y”的概率。由于Y=g(X)，所以，这个概率就等于“g(X)小于等于小y”的概率。为了利用X的概率分布，往往把这个概率改写成X属于D的概率。当然，这里X属于D，与g(X)小于等于小y，两个事件是等价的。通常，就是把X从这个不等式里面出来即可，然后就可以用X的分布函数表示Y的分布函数了。第二步，Y的分布函数大Fy对小y求导，就可以得到Y的概率密度：小f大Y了。【出现第六张PPT】下面，我们来看例题。来看例2。设随机变量X的

5、概率密度为小fx，是这样一个分段函数，(…)Y=2X+8，求Y的概率密度。我们用分布函数法，来求Y的概率密度。第一步，写出Y的分布函数“大F大Y小y”。对任意的实数小y，分布函数大FY小y，它等于“大Y小于等于小y”的概率，为了利用X的概率分布，我们把这里的大Y换成2X+8，然后把X解出来，写成大X小于等于（y-8）/2，这样，我们就可以把这个概率写成，大F大X（y-8）/2，也就是用随机变量X的分布函数，表示了Y的分布函数。【出现第7张PPT】第二步，我们把Y的分布函数对小y求导，来得到Y的概率密度。求导的时候，由于大F大Y小y是关于小y的一

6、个复合函数，我们先对中间变量来求导，把大F大X变成“小f大X”（y-8）/2，然后这个（y-8）/2再对小y求导。下面我们根据X的概率密度，来具体的写出Y的概率密度。由于X的概率密度是这样子的：当0

7、在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是，把事件“g(X)小于等于y”转化为大X在一定范围内取值的形式，从而可以利用大X的分布来求“g(X)小于等于y”的概率。【出现第8张PPT】再来看例3。设随机变量X具有概率密度小fx，(…)求Y=X平方的概率密度。下面，我们用分布函数法求Y的概率密度。设Y和X的分布函数分别为大FY小y和大FX小x。对任意实数小y，分布函数大FY小y，等于“大Y小于等于小y”的概率，也就是X的平方小于等于小y的概率。当这个小y小于等于0时，“X的平方小于等于小y”是不可能事件，所以概率为0，也就是大F大Y小y等于0。当y>0

8、时，将X的平方“小于等于”小y，改写为X“大于等于”负的根号y，“小于等于”正的根号y，那么这个概率就等于：大F大X根号y减去大F大X负的根号y，这样