随机变量的分布函数

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2、——>x一、定义：设X是一个r.v，称为X的分布函数.记作X～F(x)或FX(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间的概率.第三讲随机变量的分布函数问：在上式中，X,x皆为变量.二者有什么区别？x起什么作用？F(x)是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)是r.vX取值不大于x的概率.由定义，对任意实数x1

3、函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量.二、离散型r.v的分布函数设离散型r.vX的概率分布列是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…则F(x)=P(Xx)=由于F(x)是X取的诸值xk的概率之和，故又称F(x)为累积概率函数.当x<0时，{Xx}=，故F(x)=0例1.，求F(x).当0x<1时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)=F(x)=P(Xx)解:X012P当1x<2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=当x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例1.，求F(x).F(x)=P(Xx)解:X012P故注意

4、右连续下面我们从图形上来看一下.概率函数图分布函数图画分布函数图X012P不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).三、分布函数的性质(3)F(x)非降，即若x1

5、2.设有函数F(x)注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.或者解：第四讲连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法..连续型随机变量、概率密度定义设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在一个非负的函数f(x),对任何实数x，有，则称X为连续型随机变量，同时称f(x)为X的概率密度函数，简称

6、概率密度。f(x)xoy由定义知：1.连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数.2.对f(x)的连续点，有由此F(x)与f(x)可以互推。概率密度函数的性质1.2.这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.of(x)xy3．f(x)xoyx1x2故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.若x是f(x)的连续点，则：=f(x)4.对f(x)的进一步理解:要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取

7、a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为需要指出的是:由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，从而P(X=a)=0.P(X=a)=0的充分必要条件是F(x)是连续函数。任意a∈R。由此得，1)对连续型r.vX,有2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可

8、见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S下面给出几个r.v的例子.由于连续型r.v唯一被它的密度函数所确定.所以，若已知密度函数，该连续型r.v的概率规律就得到了全面描述.f(x)xo解：例1.设r.vX的密度函数为f(x)求(1)A,(2)F(x),(3)（1）由性质2，A=2.对x<-1，F(x)=0对对x>1，F(x)=1求F(x).解：F(x)=P(Xx)=(2)即(3).大家一起来作下面的练习.求F(x).例2设由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.=01F(x)对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出f(x)，

9、请看下例.