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1、§5随机变量的函数的分布离散型连续型定理及其应用随机变量的函数§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布本节的任务就是：的函数，是是一随机变量，设XYX也是一个随机变量．().xgyYxX=取值时，取值当(),XgY=Y则()的分布．要求随机变量，的分布，并且已知已知随机变量YXgYX=一、离散型随机变量的函数§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布分布律为是离散型随机变量，其设X{}()......,2,1===npxXPnnX1x2x，......nx......P1p2p，......np......()量，它的取值为也是离散型随机变，则的函数：是YX
2、gYXY=............，，，，nyyy21()()……，，其中21==nxgynn或第一种情形§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布…………，，，，nyyy21如果两两不相同，则由{}{}()……，，21====nxXPyYPnn或{}()……,2,1===npyYPnn的分布律为可知随机变量YY1y2y，…ny…P1p2p，…np…第二种情形§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布则把这些相同的项合并（看作是一项），并把相应的概率相加，即可得随机变量Y=g(X)的分布律.…………，，，，nyyy21如果有相同的项，例1§5随机变量的函数的分
3、布第二章随机变量及其分布解：的分布律为设离散型随机变量X的分布律．，试求随机变量YXY32-=的取值为随机变量32-=XY例1（续）§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布这些取值两两互不相同,由此得随机变量32-=XY的分布律为设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=(X-1)2的分布律.pkX-10120.20.30.10.4解:Y有可能取的值为且Y=0对应于(X-1)2=0，解得X=1，例2§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布0，1，4.所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,同理,P{Y=1}P{Y=4}pkY0140.10.70.2所以，Y=
4、(X-1)2的分布律为：pkX-10120.20.30.10.4Y=(X-1)2例2（续）§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,=P{X=-1}=0.2,例3§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布的分布律为设离散型随机变量X的分布律．试求随机变量YX12…n…P21221…n21…例3（续）解:§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布Y-11P3231的分布律为所以，随机变量Yå¥==1221kk{}å¥===12kkXP二、连续型随机变量函数的分布解题思路§5随机变量的函数的分布第二章随机变
5、量及其分布(x)，其密度函数为是一连续型随机变量，设fXX随机变量．是连续型，的连续函数是再设)(XgYx(x)gy==()的分布函数先求⑴XgY=()()的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数利用⑵XgYXgY==()()．的密度函数我们要求的是yfXgYY=设随机变量X具有概率密度：试求Y=2X+8的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8的分布函数FY(y)：例4§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布ïîïíì<<=.,0,40,8)(其它xxXfX例4（续）得到§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布可以求得：利用)()()2(yfyFYY=¢整
6、理得Y=2X+8的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式例4（续）§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布设随机变量X具有概率密度求Y=X2的概率密度.解：(1)先求Y=X2的分布函数FY(y)：例5§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布例5（续）§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布得：及变限定积分求导公式利用)()()2(yfyFYY=¢例如,设X~N(0,1),其概率密度为：则Y=X2的概率密度为：§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布分布。的服从自由度为此时称21cY定理设随机变量X具有概率密度则Y=g(X)是一个连续型随机变
7、量，其概率密度为其中h(y)是g(x)的反函数，即§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布,,)(¥<<¥-xxfX).0)((0)()(<¢>¢xgxgxg或恒有处处可导，且有又设函数定理（续）§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布此时仍有：或恒有上恒有在以外等于零，则只须假设在有限区间若),0)((0)(],[],[)(<¢>¢xgxgbabaxf例6§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布解：例6（续）§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布证:X的概率密度为例7§5随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布由定理的结
