2.7随机变量函数的分布

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1、在实际问题中经常会遇到由随机变量为自变量构成的函数进行检验，钢球的直径D是一随机变量，钢球的体积比如对某工厂生产的一批钢球2.7随机变量函数的分布是关于D的函数.由D的分布了解V的分布若X是一随机变量，令Y=g(X)由于Y的取值会随X变化，因此Y也是一个随机变量。X的分布Y的分布一、一维随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布设X是一维离散型随机变量，Y=g(X)，则Y也是一维离散型随机变量。g是连续函数设X的分布列为：则Y=g(X)的分布列：注意：若g(x)相等，则概率相加合成一项.设X的分布列为：例求下列各函数的分布列：解:(1)X+2的分布列：(2

2、)-X+1的分布列：(3)X2的分布列：2.连续型随机变量函数的分布则Y=g(X)为连续型随机变量。设X是一维连续型随机变量，Y=g(X)，g是连续函数已知X的概率密度,求Y的概率密度。两种方法法一：分布函数法法二：公式法（具有普适性）（具有特殊性）定理：连续型随机变量X的概率密度y=g(x)是严格单调函数，公式法反函数x=h(y)有连续的导数。为f(x),则Y的概率密度为（注：使反函数无意义的y，定义概率密度为0）例连续型随机变量X的概率密度为f(x),Y=aX+b,求Y的概率密度.为单调函数，解:反函数为连续由定理可得Y的概率密度特例1：若则的概率密度即服

3、从正态分布仍是正态的。注：正态随机变量的线性函数若特例2：则的概率密度令则标准正态分布则例设随机变量求下列函数的概率密度解:反函数为是单增函数，无意义，的概率密度y=x2不是单调函数，采用分布函数法Y的分布函数由此可得Y的概率密度为二维随机变量函数的分布如果(X,Y)是二维随机变量则Z是一个二维随机变量。1.二维离散型随机变量函数的分布例设(X,Y)的联合分布列为：求：解：2.二维连续型随机变量函数的分布例设X,Y是相互独立的随机变量，概率密度分别为求Z=X+Y的概率密度解：Z=X+Y最大最小分布设X,Y是相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x),FY(y

4、)求的分布解：（X,Y相互独立）（X,Y相互独立）例设X,Y是随机变量，求解：例若和相互独立,它们分别服从参数为和的泊松分布,求的分布列。解：和相互独立即则和相互独立若注意：则和相互独立若则和相互独立若则和相互独立若和相互独立若则