随机变量函数的分布.doc

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1、5.5随机变量函数的分布一、背景介绍前面从理论上讨论分析了随机变量的分布规律，然而对许多实际问题，随机变量的分布并不容易求得；另一方面，有一些实际问题往往并不直接对分布感兴趣，而只感兴趣分布的少数几个特征指标，例如分布的中心位置，散布程度等等。引例，要比较两个冰箱厂生产的冰箱质量，一方面要比较它们的平均使用寿命，平均寿命越长质量越好；另一方面还要比较两个厂产品寿命相对于平均寿命离散程度的大小，离散程度大的质量不稳定，离散程度小的质量比较稳定，比较可靠。可见，产品的重要质量指标，平均寿命及质量的稳定性均表现为具有一定特征的参数或数字。知

2、道了这类特征参数或数字，就能对随机变量分布的统计规律一目了然。这类能够直观反映出随机变量分布特征的数字就称为数字特征，包括数学期望和方差。二、随机变量的数学期望及其性质定义1设离散型随机变量的分布列为，则和式称为X的数学期望。记为 若X取值为可列个，无穷级数绝对收敛，则称该无穷级数之和为X的数学期望，记为注意：假如上述无穷级数不绝对收敛，则称该随机变量X的数学期望不存在。定义2设连续型随机变量X的密度函数为，若广义积分绝对收敛，则称该积分为连续型随机变量X的数学期望，记为注意：当上述广义积分不绝对收敛时，称X的数学期望不存在。数学期望

3、亦称为期望或均值，由于完全由随机变量的概率分布所确定，所以也称为分布的数学期望。下面给出随机变量函数的期望计算公式：定理设随机变量X的函数Y=f(x)，则有例1甲、乙两个工人生产同一种产品，若一天中他们生产的废品数分别为随机变量X与Y，且已知X与的概率分布分别为X0123 Y0123Pk0.40.30.20.1 Pk0.30.50.20设这两人的日产量相同，问哪位工人的生产技术更要好些？解：仅从概率分布看，不好直接对哪位工人的生产技术更好一些作业评论，但由数学期望的概念，我们可以通过比较E（X），E（Y）的大小来对工人的生产技术作业评

4、判，依题意可得　　　　　　由于，故由此判定工人乙的技术更好一些。显然，一天中乙生产的废品数平均比甲少。例2　某公司生产的机器其无故障工作时间X有密度函数　　　（单位：万小时）公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用1.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用2万小时以后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。解：设Y表示售出一台机器的获利。则Y是X的函数，即于是=1000即该公司售出每台机器平均获利1000元。下面

5、给出随机变量数学期望的性质性质1　E（C）=C（C为常数）证明：只需将X看成为是以概率1?取常数C的随机变量即可：因为随机变量，其分布列为，由期望的定义，有：。性质2　E（CX）=CX（C为常数）证明：以连续型随机变量为例，设X的密度函数为，由连续型随机变量期望的定义性质3　（b为常数）证明：设连续型随机变量X的密度函数为，则　　　　　　　　　　性质4　（a，b为常数）由性质2，性质3，不难推出性质4成立。性质5　设有两个任意的随机变量X，Y，它们的期望存在，则有。性质5可以推广到n个随机变量。推论1　设有n个任意的随机变量，它们的期

6、望，存在，则有即n个随机变量和的期望等于各百期望之和。推论2　设有n个任意的随机变量，它们的期望存在，则有即随机变量的算术平均值的期望等于随机变量的期望的算术平均。这在后面数理统计中常要用到。性质6　设是相互独立的两个随机变量，且各自的期望均存在，则有即两个相互独立的随机变量乘积的期望等政协委员自期望的乘积。推论　设n个随机变量相互独立，且各自的数学期望存在，则有注意：性质5与性质6条件上的差别。对“求和”，不要求随机变量相互独立，对于“求积”，则要求随机变量相互独立。这是因为证明“积”的性质时，用到随机变量相互概念，否则，不一定成立

7、。适当应用这些性质，可以简化期望的计算。例3　设某仪器总长度X为两个部件长度之和，即X=X1+X2，且已知它们的分布列分别为X91011 X267Pk0.30.50.2 Pk0.40.6求：（1）解：因为EX1=9×0.3+10×0.5+11×0.2=9.9EX2=6×0.4+7×0.6=6.6所以，（1）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=9.9+6.6=16.5（2）E(X1X2)=E(X1)E(X2)=9.9+6.6=65.34（3）E（X22）=62×0.4+72×0.6=43.8注意：，这是因为与其自身不满足相互独立的

8、条件。三、随机变量的方差及其性质在介绍方差的概念之前，我们先来看一个例题。例4甲、乙两人同时在医院由同一名医生检查血压，一周内七天检查的结果分别记为X1，X2，且有如下分布列：X112012012012012012012