三角函数诱导公式一.doc

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1、三角函数的诱导公式（一）数学教研组周立清（一）问题情境问题1如图，设角的终边与单位圆的交点为，那么点的坐标可以怎样表示？OxyP1图4生：.问题2同角的三角函数具有哪些关系？生：平方关系：，商数关系：.问题3平面直角坐标系中两角终边的特殊位置关系有哪些？生：重合、对称.师：在平面直角坐标系中，这些特殊位置关系的角大小及对应的三角函数之间会不会也有某些关系呢？今天这节课我们就一起来研究这部分的内容.（二）探究建构师：首先我们先来研究最先接触的终边重合的位置关系，如果在同一直角坐标系中，两角的终边重合了，那么这两角的大小关系是？OxyP1P′图6生：探究1：观察图1，与点重合，你有什

2、么发现？生：.师：如何发现这一结论？生：因为点与点的坐标分别为与，而这两点是重合的，所以对应的坐标相等.师：回顾探究的开端，两角的终边重合它们的大小关系是？生：师：结合角的大小关系及对应三角函数关系，你能得到什么结论？生：（）.追问：在这两个等式的基础上，还能得到什么结论？生：由商数关系，可以得().5师：很好！但是每每老师写到商数关系时，都要思考一下？生：分母不可以为零.（在讨论的同时，老师作如下板书）OxyP1P′，.反思1：如何理解这里所得到的三个关系式？生：终边相同的角的对应三角函数值相等.反思2：这说明当点在单位圆上作周而复始的运动时，相应的三角函数值有什么样的性质呢？

3、生：具有周期性.师：非常好，在将来的学习过程中我们会细致的研究三角函数周期性这部分内容.反思3：你能举个例子说明这些关系式的作用吗？生：.师：、这组公式具有一种功能，它们可以把一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数，进而能化难为易，化繁为简，化生为熟，所以我们称之为诱导公式（板书课题）.并且，习惯上这组公式称为公式一（在上述公式后板书“公式一”三个字）.反思4：现在回头反思一下，我们是怎样得到诱导公式一的？生：由角终边重合这一特殊位置关系，得到对应三角函数值相等，就得到这组公式了.师：下面我们再来研究点与点具有对称关系的情形，你能想到了点与点之间的哪些对称关系？生：关于轴、轴、

4、原点对称.师：好，我们先一起来研究关于轴对称的情况.探究2：如图2所示，若点与点关于轴对称，此时的两角关系又是什么？图2OxyP1P′生：（）.师：能得到什么样的结论？5生：，.追问如图3所示，点与点也是关于轴对称的，此时所写的两角关系还成立吗？图3OxyP1P′生：仍成立.师：将坐标关系与两角关系综合起来，能得到什么样的结论？生：，（）.师：这个结果可以简化吗？生：根据公式1，得，.师：由弦就可以得到？生：.（板书公式3）OxyP1P′，取.学生探究：若点与点关于轴对称，或关于坐标原点对称，又能得到什么样的结论？（让学生自己探究一会儿，然后学生上黑板完成后续板书）OxyP1P′

5、，取.OxyP1P′，取.师：非常好！（三）数学应用例1.求值：（1）；（2）；（3）.解析学生口答思路，师板书示范（1），学生板演（2）和（3）.5反思利用诱导公式求任意角的三角函数值的一般思想与步骤是什么？生：负化正、大化小、角化锐（）、锐求值.例2.已知，求的值.师：本题中共出现的几个角？生：三个，、以及师：这三个角有什么关系吗？生：互余和互补的关系.师：所以说：这三个角其实都可以有其中一个来表示了.我们选取已知角不变，令它为，则本题可以简化为？生：已知，求的值.师：好，题目已经简化，接下来的操作交给你们.练习1、求值：（1）；（2）；（3）；（4）.2、化简：（1）；（2

6、）．（学生口答或投影）3.4课堂小结师：这节课我们学习了三角函数的诱导公式，通过学习，我们知道诱导公式是由多组公式构成的.提升1请结合诱导公式的作用及其形成过程，谈谈你是怎样理解诱导公式的?生：由角终边的特殊位置关系得到了特殊位置关系时对应三角函数值的关系，及今天所学习的四组诱导公式.诱导公式可以将负角化正，大角化小，小角化到，在进行求值.师：非常好！诱导公式的实质是将图形的对称关系“翻译”成了三5角函数之间的代数关系．也就是说，在“形”的方面表现出来的是对称关系，而在“数”的方面表现出来的就是诱导公式.启示这么多的诱导公式该如何记忆呢？生：结合今天投影上的几张特殊位置关系的图形

7、，由角终边与单位圆交点坐标的特殊关系去记忆.提升2老师这里有这么一道题，分别截取了这两种做法，你有什么发现？生：我们是用公式一、公式二、公式四来完成的.也就是说，同时运用公式二与公式四的效果相当于用了一次公式三.师：从公式二、三、四形成的角度看，如何解释其中的道理？生：如果点与点既关于轴对称，又关于原点对称，则它们一定关于轴对称．师：非常好！我们知道，这三种对称关系，任意两个组合是可以推出第三个的．此时，你有什么猜想？生：公式二、三、四，任意两种进行组合可以推出第三种.师：非常好