三角函数诱导公式.doc

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1、三角函数诱导公式编辑所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。中文名诱导公式外文名inductionformula应用学科数学适用领域范围数学目录1常用公式2推导过程3三角函数1常用公式编辑公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）-7-公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=—sinαcos（π+α）=—cosαtan（π

2、+α）=tanα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=—sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=—tanα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαsin（π/2－α）=c

3、osαcos（π/2+α）=－sinαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2+α）=－cotα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cosα-7-sin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2+α）=－cotα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角

4、所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。符号判断口诀：“一全正；二正弦；三正切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”。也可以这样理解：一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余弦指的是对应象限三角函数为正值的名称。口诀中未提及的都是负值。“ASTC”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“tan”、“co

5、s”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。2推导过程编辑万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式推导tan3α=sin3α/cos3α-7-=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsin

6、α)=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)=3sinα－4sin^3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin

7、2αsinα=[2cos^2(α)－1]cosα－2cosαsin^2(α)=2cos^3(α)－cosα+[2cosα－2cos^3(α)]=4cos^3(α)－3cosα即sin3α=3sinα－4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)－3cosα和差化积公式推导首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=[sin(a+b)-

8、sin(a-b)]/2同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就