初等数学研究试题答案.doc

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1、习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10）答：设数系A扩展后得到新数系为B，则数系扩展原则为：（1）（2）A的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B中被重新定义。而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。（3）在A中不是总能实施的某种运算，在B中总能施行。（4）在同构的意义下，B应当是A的满足上述三原则的最小扩展，而且有A唯一确定。数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。（2）构造法。2、对自然数证明乘法单调性：设则（1）（2）（3）证明：（1）设命题能成立的所有C组成集合M。由归纳公理知，所以命题对任意自然数成立。（2）（P17定义9）由

2、（1）有（P17.定义9）或：（3）3、对自然数证明乘法消去律：（1）（2）（3）证明（1）（用反证法）（2）方法同上。（3）方法同上。4、依据序数理论推求：解：（P16.例1）（2）5、设，证明是9的倍数。证明：则当n=k+1时：。。由①，②知，对于任一自然数n成立。6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立：证明：。由、知，对任意自然数n命题成立。7、（1）（2）（3）。解：（1）（2）（3）所得的各个数皆为自然数，因此，。8、证明：9.证明整数集具有离散性.证明：（反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数a和a+1之间存在。依据加法单调性，，即.这就和自然数集具有离散性相矛盾。1

3、0、证明：有理数乘法满足结合律。证明：（1）当a,b,c中至少有一个为零。（1）显然成立。设a,b,c都不为零。因为算术数乘法满足结合律，故。故（1）两边的绝对值相等。如果a,b,c中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；如果a,b,c中没有负数或有两个负数，则（1）两边都是正数，说明（1）两边的符号相同。因此（1）成立。10、指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环：；；；；；；；。答：（1）加，乘，成环（2）乘，除（3）加，乘（4）加，乘（5）加，乘，除（6）乘（7）加，乘，成环（8）加，乘，成环12、设有n个正分数（分母为正分数）求证：.证明：设(1)即(2

4、)(3)(n).14.已知近似数2315.4的相对误差界是，.是确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。故近似数精确到个位所以有效数字有4个19.辨别下面的断语有无错误，错在哪里？（1）复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应。（2）两复数的和与积都是实数的充要条件是：这两个复数是共轭复数。（3）共轭虚数的正整数次幂仍是共轭虚数。（4）一个非零复数与它的倒数之和为实数的充要条件是它的模等于1。答：都有错误。（1）所有向量改为：所有以原点为起点的向量。（2）是充分条件而非必要条件。（3）共轭虚数应改为：共轭复数。（4）是充分条件而非必要条件。20.证明：当n为3的倍数时，而当n是其它正

5、整数时，上式左边等于-1。22、0112yABCDE0x1习题二