初等数学研究答案

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1、大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社习题一1答：原则：（1）AB（2）A的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B中被重新定义。而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。（3）在A中不是总能施行的某种运算，在B中总能施行。(4)在同构的意义下,B应当是A满足上述三原则的最小扩展,而且由A唯一确定。方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c组成集合M。a=b，假设，则由归纳公理知M=N，所以命题对任意自然数c成立。（2）若ab，则则acb，则则ac>bc。3证明:(1

2、)用反证法：若。当ab时，由乘法单调性知acbc.当ab时，由乘法单调性知acbc矛盾。则a>b。4.解：（1）（2）5证明：当n=1时，假设当n=k时则当n=k+1时则对，是9的倍数.6证明：当时，=，=；则当时成立。假设当时成立，即()()()………()=当时，()()()………()（）=（）

3、=当时成立。7解：（1）（2）（3）当n=1时，假设当n=k时则当n=k+1时则对，是10的倍数.8证明：9证明：假设存在b，使得由若若因此10证明：则=11答:(1)加法,乘法,减法;构成数环(2)乘法,除法;(3)加法,乘法;(4)加法,乘法;(5)加法,乘法,除法;(6)乘法;(7)加法,乘法,减法;构成数环(8)加法,乘法,减法;构成数环12证明：方法一即即方法二：设则由p==q得，，，；，，；则<即则13．（1）（2）（3）（4）14解：则它的有效数字的个数为4。15解：16证明：方法一：是有理数，则其不包含x；得,方法二：是有理数，则=；则是

4、有理数17证明：则若若得;即无理数等于有理数矛盾,则18解：（1）并且此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1.（2）并且此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为0.（3）并且此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1.19.（1）（）答：复数集与复平面内以0为起点的一切向量组成的集合一一对应；（2）()答:两复数的和与积都是实数的充分条件是：这两个复数是共轭复数（3）()答：共轭虚数的正整数次幂仍是共轭复数；（4）()答:一个非零复数的模等于1的充分条件是它与它的倒数之和为实数.20证明:当，当，当，21解：Z===则

5、Z

6、=；则22

7、解：

8、z

9、=1，=则u=当；当23.解方程;则24解：(1)（2）而（3）=当令25解：由图像知；则26解：设z=x+yi,则代入27证明：而则28证明:的两边同乘以将x=.按照复数相等的条件得习题二1解：设这个多项式为.然后将已知点依次代入：因此，即2解：令得;令得令得令得则即=3解：由于成为的完全平方式，则得:4证明:(1)==即:(2),即即:则是和的一个公因式。5证明:则;=即6解:若有一次因式利用综合除法,可试除的若若若若若有二次因式设其为=按对应项系数相等得得时时。综上可知当时能分解成整系数因式。7解:(1)法一:原式为对称式,但显然原式没有一

10、个因式,又由于原式为四次式,则设有一个二次对称式的因式则=法二:=(2)(3)原式为对称式,当时原式为零,故为原式的一个因式,又由于原式为三次式,则还有另一个二次对称式的因式.设()]令,令则(4)原式为轮换式,当时原式为零,故为原式的一个因式,又由于原式为四次式,则还有另一个一次对称式的因式.设k()令则-2()8解:（1）=比较系数得：；设则则（2）=比较系数得：；设则则9解：（1）（2）=（3）原式为轮换式,当时原式为零,故为原式的一个因式,.设令则（4）==10解：（1）==（2）=比较系数得：；设则则11解：（1）先用综合除法，试除数可能是经检验

11、只有是原式的一次因式，令展开比较系数得则=（2）12解：13.设求证：对于任何奇数k，均有，即,则；当，而则当，而则当，而则14证明：则=15证明：当时，等式成立。假设当时成立，即=当时=+=等式成立。16解;（1）通分并合并同类项后与原式比较系数，得：则（2）通分并合并同类项后与原式比较系数，得：则17解：（1）（2）=（3）=0.=18解：（1）（2）=2=219.（1）=（2）=(3)(4)20解:==21证明:=同理可知则=22解:则即23证明：24证明：成等差数列，则即则。即25证明：=26解：解之得，又由于,故.27证明:要证即证即证=即证=2

12、即证=(1)而即则=即（1）式成立。命题成立。28.(1)==1(