初等数学研究习题五答案

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1、习题五习题五1.指出下列各不等式的定义域，并判别各自属于哪类不等式（绝对不等式、条件不等式或矛盾不等式）⑴＜；⑵＜；⑶＋＞0；⑷＋＜2．判别实数域中下列各命题是否正确，正确的给予证明，不正确的举出反例。（1）若＞，＞，则＞（2）若＞，则a＞b；(3)若＞；＞；（4）若＞；且，则＜；（5）若＞，nN，则＞；（6）若＞1，则（＋）（－）＞（＋）（－）.3.设R，比较＋与＋的大小.4.下面命题的证明错在哪里？并给出正确的证法.命题：证明－＞－.证：假设命题成立.将两边平方，得－﹥－.①将①两边平方和，得＞－，②即－＞将②两边平方，得＞.未式显

2、然成立，又各步皆可逆，所以原命题成立.5.证明下列不等式：⑴＋－－－＋≥（）；⑵－＋＋＞（）.6.设，求证：－－－－.⑴⑵8.设。，，.求证：⑴⑵9．证明以为通项的数列是一个单调递增数列.10.设，，…，为不全等的正数，求证＞11.设，,且，求证：12.设，求证：.13.设是大于的自然数，求证：14.设，，，，且，，求证.15.设，，求证.16.求证.17.设，求证.18.证明下列不等式：⑴;⑵.19．⑴设，均为正数，且，求证：；⑵设，，…，均为正数，切…，求证：….20.设，，…，为互不相等的自然数，求证对任意自然数，都有以下不等式成

3、立：....21.求证：，；22.求证：函数在区间，上是凹函数.23.下列各对不等式是否同解？为什么？⑴与；⑵与；⑶与；⑷与；⑸与；⑹与.24.下列各对不等式（组）是否同解？为什么？⑴和；⑵和；⑶和；⑷和25.解下列不等式：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸⑹；⑺；⑻；⑼；⑽.26.求函数的定义域.27.解下列不等式：⑴；⑵；⑶；⑷.28.解下列不等式⑴；⑵；⑶；⑷.29.当取何值时多项式函数取最少值？并求出这个最小值.30.求函数的极值.31.设，，，且，求的最大值及的最少值.32.矩形ABCD的相邻两边之长分别为和，从定点A和C出发，分别在相邻两边

4、上截取相等的线段AE=AF=CG=CH=（如图）.试问取何值时平行四边形EFGH的面积最大？最大值是多少？第32题图33.有一边长为的正方形白铁片，在其四角上截去四个边长为的全等正方形，然后将四边翻折，做成一个无盖长方体形状的铁盒。试问去何值时铁盒具有最大体积？最大体积是多少？5、证明下列不等式。（1）证明：（2）证明：6、设，求证：证明：①当n=1时，即n=1时不等式成立。②假设n=k时不等式成立，即则当n=k+1时，有即当n=k+1时，不等式也成立。由①、②知，对任意自然数n不等式成立。7、设求证：（1）证明：假设成立，则有即：也即

5、：但是成立的，并且上面每一步都可逆，因而不等式得证。（2）8、设求证：（1）（2）证明：（1）利用柯西不等式。（2）不妨设则故有①+②，有：=39、证明以为通项的数列是一个单调递增数列。证明：由二项式定理，有其中于是，将上面等式中的n换成n+1，就得到的展开式：的展开式有n+1项，的展开式有n+2项。它们每一项都是正数，因为所以的第k+1项小于的第k+1项，即此外，比还多了一个正数项（即展开式的最后一项），故有：以为通项的数列是一个单调递增数列。10、设为不全相等的整数，求证：证明：利用均值不等式，有即11、设且求证：证明：①当n=2时

6、，当n=2时，不等式成立。②假设当n=k时，不等式成立，即：则当n=k+1时，有：不妨设a

7、数，不等式成立。15、设求证：，（莫斯科第15届（1952年）数学竞赛题）证明：由已知，得最后一式成立，故原不等式得证。16、求证：证明：设，则有：令则有：是实数。即17、设n>2,求证：证明：即即18、证明下列不等式：（1）（2）证明：（1）由不等式得：得：令k=1,2,……n代入上式，得：..(1)+(2)+........+(n):即：（2）由即令k=2,3.......n代入上式，得：..(1)+(2)+........+(n-1)得：即:14.（1）设a,b均为正数，且a+b+c=1，求证：.(2)设.证明：（1）法一：在柯西

8、不等式中，令法二：利用琴森不等式，先证是凸函数.设对于且，现证：而要证：需证：即：也即：即：且：故是成立的，并且上面每一步都可逆，成立.即成立.在是凸函数.设且，利用琴森不等式，有：（2）法一：由均值不等式