初等数学研究经典习题doc

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1、2012年10月8日星期一，第七周一、倒数方程例题1.解方程：解：原方程属于奇次倒数方程，可以分解为显然有一根，为求出其它根，要解方程因，以除的两端，整理得令，则，代入，得解之，得，再据此求：由，得；由，得；所以，原方程有5个根：.例题2解方程：。解：显然，.因此可在方程两端同除以，得令，则，故有由，得；由，得.所以，原方程的根为.二、含有参数的方程例题3在复数集内解方程：，其中a，b为参数，a，b∈R。解：原方程即(1)当时，方程可化为这是如果a=0，则为矛盾方程；如果，可将去分母得，将代入，分母不为零，是原方

2、程的根。(2)当即时，将方程变形为如果；则a和b之中有且只有一个为0，不妨设b=0，，方程变形为方程无解。<30>如果，则a，b均不为0，将方程去分母，得即此时的分母不为0，所以是原方程的解。因此，当时，原方程有两解：；当时，原方程无解；当且时，原方程有四解：，；当且时，原方程无解。例题4解关于x的方程：解：x应满足.将两端平方，得即由可知，，即.将方程的两端平方，整理得.由可知，，因而，所以.由，，三式可知解不等式组，得参数a的取值范围是.经检验得知原方程的解是三、二元一次不定方程例题5求方程的正整数解.解用y

3、表示系数较小的x，得以为x，y是整数，所以也是整数.令，即.用u表示系数绝对值较小的y，得.以为y，u是整数，所以也是整数.令，即，.再令，t是整数，于是得.代入，得，代入，得.将y值代入，得<30>所以原方程的通解是为了求正整数解，还必须解不等式组：得所以.代入通解得所求的正整数解是和<30>2012年10月10日星期三例题1设，证明：方法一、∴方法二、∵∴∴方法三、显然存在非零解∴行列式即例题2已知,求证证明：方法一、因为<30>所以令原式可化为∴方法二、设显然A点在单位圆上，下面求过点A的切线，切线斜率为所

4、以切线方程为即：显然点B在切线和单位圆上，即A,B重合所以，例题3解方程：解：记，原方程变形为：所以，即，或例题4解方程：<30>解：将原方程变形为令，则方程可化为所以，或即或由于，带入上式，得原方程的解，例题5解方程：.解：原方程即分别解得原方程的解：例题6解方程：解：方程两边同时除以（暂时设），得<30>.即由由解题过程中，在方程到这一步可能失根，为此，须将的解带入原方程检验，显然不适合（如果适合，则须补回此失根）。因此原方程的解是2012年10月12日，星期五例题1、解方程：解：原方程即即因为，所以要是方程

5、成立，必须所以，所以，因为，所以因此，原方程的解为<30>例题2、解方程：解：例题3、解方程:解：因为+得，，所以，经验算知，是元方程的跟.例题4、解方程组：解：将方程做因式分解的；、联立得(1)的解集等于方程组（2）和（3）的解集的并集：解（2）得<30>解（3）得因此原方程组的解有四个：例题5、解方程组：解：本题显然是对称方程组。令代入，得+，得解得，代入得这样原方程组归结为：由此原方程的解为。例题6、解方程组：解：该方程组为对称方程组，+，得-得，于是原方程组化为将方程，搭配的到下列四个方程组：<30>显然

6、它们都是易解的二元二次方程组，分别解之，原方程组共有9组解：例题7、解方程组：解：原方程组可以变形为：，，相乘得：将两边开平方得：将，，分别代入得：将，，分别代入得：因此，原方程组的解是（4，3，2）和（-4，-3，-2）例题8、解方程组：解：方程两边同时乘以，得<30>将代入得，所以，原方程组的解集等于以下两个方程组的并集：和即和因此原方程组的解集是例题9、解方程组：解：利用降次公式，即将代入化简得，、解得，经检验，以上两组解都是原方程组的解。例题10、解方程组：<30>解：+得因为将两式代入，整理得，再将代入

7、得.所以原方程组的解是2012年10月15日星期一例题1、解不等式：解：记原不等式可化为：<30>所以：即例题2、解不等式：解：记，所以原不等式可化为：所以：记，，易证u在R上单调递减。又：所以，所以，所以，例题3、已知，不等式的解集为（0，2）求a的值。<30>解：，所以1、若则原不等式的解集为，舍去。2、，由于不等式的解集为（0，2）由得即，，所以一元多次、分式不等式例题4、解不等式：解：原不等式变形为：-将零点在数轴上标出-3-13所以原不等式的解集为例题5、解不等式解：原不等式中为既约二次因式，必须为正，

8、弃去，奇次重因式改为一次单因式，偶次重因式弃去，则原不等式可化为<30>所以原不等式的解集为：例题6、解不等式：解：定义域为。因式分解得即，所以，原不等式的解为2012年10月17日星期三不等式的证明例题1、已知证明：因为所以即由、知是方程的两根<30>因为所以解得例题2、已知，求证：证明：（分析法）因为所以即例题3、<30>已知.证明：所以所以即例题4、证明：证明：当时