初等数学研究试题答案

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1、习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？(P9——P10)答：设数系A扩展后得到新数系为B,则数系扩展原则为：(1)AuB(2)A的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B中被重新定义。而且对于A的元素來说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。(3)在A中不是总能实施的某种运算，在B中总能施行。(4)在同构的意义下，B应当是A的满足上述三原则的最小扩展，而且有A唯一确定。数系扩展的方式有两种：(1)添加元索法。(2)构造法。2、对自然数证明乘法单调性：设a,b,cwN,则(1)若

2、a=b.则ac=be;(2)若ab,则ac>be；证明：(1)设命题能成立的所有C组成集合M。・.・a=b,a=a・1,b=b・1,(Pl3规定)・・・a・l=b・l:AgM假设ceA/,BPac=Z?c・.・acr=q(c+1)=ac+a,bcr-b(c+l)=bc+b乂ac=bc,a=b：.3iC+a=bc+b「・ad=bc，:.cfeM・由归纳公理知，M=N,所以命题对任意自然数成立。(2)若贝ll有b=d+k，kwN.(P17定义9)由(1)有bc=(d+k

3、)C=ac+kc(P17.定义9)be=(a+P)c=ac+£c:.acbc3、对自然数证明乘法消去律：设abewN,则(1)若ac=bc,^a=b;(2)若acbe.贝^a>bQ证明(1)(用反证法)彳艮设d工伏贝tl有a〉b或avb.若d〉/?，有ac>bc^ac-bc矛盾。若a

4、ac

5、5=34=3・4+3=12+3=15.5、设nwN,证明4n+15n-l是9的倍数。证明:①当n=l时,41+15x1-1=18是9的倍数，故〃=1时命题成立。②假设当n=k时，命题成立。即4k+15k-1是9的倍数。则当n二k+1时：4k+1+15(k+l)-l=4(4k+15k-l)-3xl5k+18o=4⑷+15R-1)-9(5£-2)°•.•举+15k-9是9的倍数,9（5k-2）是9的倍数.••4（举+15P-1）-9（5£-2）是9的倍数.••4如+15伙+1）-1是9的倍数.•.当”

6、=1时，命题成、'/：。由①，②知，对于任一自然数n成立。6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立:哼）…⑴詁严证明:①当心1时，左边=1丰-3,右边=骨“•左边=右边。故当兀=1时，等式成立。②假设当n=k时，等式成立，即:(1-j)(1冷)(l-^)-(l-(2£_1)2)=1+2£则当心k+1时，有:（14）（14）1y(2E+1)2)(1丄)・・・(1f)(1-257(2k-1尸川+2k(]1、_(2k-1)(2£+3)_1+2伙+1)}^2k•(0+1)2丿_(1—2k)(2k+l

7、)_1—2伙+1)当〃=比+1时,命题也成立.Orh①、②知，对任意自然数n命题成立。7、设a=^±fl,0=呼,仆豁gl,2...)(1)以Q、0为根作一元二次方程；⑵证明An+2=3An+i+An;(1)用数学归纳法证明％“是1°的倍数。解:(1).8+0=^11+^1二3,6Z.^=3+V13.^43=_1・••以C60为根的一元一次方程为：x2-3x-l=0.(1)以a,0代入以上方程，得:0=3q+1,02=30+1._0+2一0兀+2_0・a2—0j02_/(3g+1)-0"(30+1

8、)…n+27b7bTb_2Q+l—0曲丄0“43=3码1+Ar(2)当斤=1时，A=3心+州=3•阵/+牛0=10.乜乜iV1343故命题对〃=1成立：假设当〃=£时，命题成立，即4k是10的倍数.则当"£+叩寸，有：含(k+1)=3饥+2+人(3£+1)=3(3饥+1+箴)+箴+1=10俎+1+3食又・・・勺=1wN,%=3wN，故经递推式4+2=3A+1+4所得的各个数皆为自然数,・・・％(k+i)也是10的倍数O・・・也訥是10的倍数。8、设d0,c都是整数。如果ab,b