初等数学解题研究

《初等数学解题研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第二章数学思想方法第一节猜证结合思想（1）授课内容：1、数学思想、数学方法及数学思想方法；2、五种基本的数学思想系统及形成；3、数学思想与数学fuj题解决4、猜证结合思想：1.1基木观点及解题策略；1.2证明推理与基木方法；（1）综合法与分析法。重难点：1、猜证结合思想：1.1基本观点及解题策略；1.2证明推理与基本方法；（1）综合法与分析法。讲授方法和手段、讲授、讨论，边讲边练相结合。一、基本概念：1、数学思想：是数学的基本观点，是对数学概念，原理、方法、发现法则的本质的认识。对于解题而言，数学思想就是解题策略

2、，它能沟通问题与知识及方法间的联系，调节解题，是解题的指导思想，属于策略性知识。2、数学方法：是为Y解决问题而采用的手段，步骤和程序，属于过程性知识。由丁•数学思想常常表现为数学方法的形成（即以数学方法的形式表现出来），所以通常把二者称为：数学思想方法。3、五种基本的数学思想（中学数学思想）：在数学的发展史上，形成了许多重要的数学思想，如：公理化思想；符号化思想，极限思想，固本思想等，但在中学主要学习下面五种数学思想：中学五中主要数学思想：1、猜证结合思想；2、分类与分步思想；3、化归思想；4、数形结合思想；5、

3、函数与议程思想。我们学＞』五种数学思想的H标是：在头脑中主动的建构“五种数学思想系统,使自己的数学思想方法达到“系统化”和“明确化”。二、第一节猜证结合思想1、推理的两种形式：(1)似真推理：归纳人推理与类比推理叫似真推理。归纳推理：由个别的、特殊的结论，通过观察、实验分析，比较等手段，概括出一般性的结论。这种推理叫…。类比推理：由特殊到特殊或由一般到一般的推理叫类比推理。由归纳推理或类比推理得到的结论不一定正确。/.叫似真推理。但，似真推理是创造性的逻辑推理。(2)证明推理：演绎推理叫证明推理，5卩：由一般原理

4、推出个别的，特殊的结论的推理方法。证明推理所得出的结论都是正确的。总结上面内容我们得出：注两种推理:(1)似真推理(数孕猜想):归纳:特殊到一般类比:特殊到特殊或者一般到一般(2)证明推理：演绎：一般到特殊2、猜证结合思想2.1基本观点与解题策略(1)数学猜想：似真推理就叫数学猜想。我们的推理应该结合猜想与证明两种策略同吋进行。靠猜想去发现，靠证明去反驳或证实发现。这就是所谓的猜证结合思想。(2)猜证结合思想：在问题解决吋，要把猜想与证明两种策略综合运用，靠猜想去发现，靠证明去反驳或证实发现，使之互补优缺，这种思

5、想叫猜证结合思想。F面用几个例了•來说明猜证结合思想的应用。例：椭圆4+4=1(6/〉/7〉0)的离心率e=A是左顶点，F是沿焦点,a~b~2B是短轴的一个端点，则ZABF=。(A)30°(B)60°(C)90°(D)120°解：应川猜证结合的思想：考察极端，在四个选中，90°是一个极端情形，先猜想ZABF=90°(于是只须证明：/^‘=-1即可)。7kAB^F=-^--)=-^^=---=e--=-.(注：椭圆。二三)acacacea•••ZABF=90°,选C木题目如果用“证明方法”计算结果，是很麻烦的：解

6、：在AABF屮，由余弦定理得：cosZABF=+—/IF22ABBF(a2+/?2)+6Z2-(a+e)2_a2-ac-c22ayla2+b22a^la2+/?299a-ac-C2ay]a2+b2••222riC•Cl—CIC—C=Cl[1(—)]=a2(l—e—=a^[—75-1ZV5-1]=0aa...cosZABF=0...ZABF=90°.选c显然用“证明”的方法做，计算量大，且思路容易受阻。而“猜证结合”则思路清晰，计算量小。例：定义在(一oo,+oo)上的偶函数f(X)满足：/(x+l)=-/(x)

7、,且且在卜1,0j是增数，卜‘面关于/⑺的判断正确的是,(1)f(x)是周期数函数；(2)f(x)的图象关于直线x=l对称；(3)f(x)在［0，1］上是增函数；(4)f(x)在［1，2］上是减函数；(5)f(x)=f(0).解：(考虑类比推理.•在我们学过的偶函数中，有那些函数满足题FI的条件：=cosX)把f(x)矣比成COSX，把“1”类比成“兀”，显然函数y=C0SJ满足题目的全部已知：在［-n，0］增，且+W=而余弦函数y=cosX具有下列性质：是以T=2ii的周期函数，①满足关于直线x=n对称，②满足

8、在［一a，叫是增函数③不满足在［n，2J：］是减函数④不满足在cos2;r=cosO⑤满足.•.通过类比①②⑤对.例：已知％=l,tz,,+1―-(n=l，2…)，求数列｛山｝的通项公式。A-4分析：用“猜证结合”证明.?7?解：当"=1时，6Z,=1=3—；当"=2时，6/，=—=3—；1-33132?当n=3时，a=—=3-—猜想：a=3(ne/V).(第一步完55"