复数在初等数学解题中的应用

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1、第33卷第4期2014年4月数学教学研究65复数在初等数学解题中的应用李明，赵洁，郑平(兰州城市学院数学学院，甘肃兰州730070)摘要：复数表示形式的多样化沟通了复数与数学各分科之间的联系，使得复数不仅在代数各分支有着综合的应用，而且也为三角、几何等学科提供了有力的解题工具．本文通过例题说明用复数解决代数、三角和几何问题．关键词：复数；代数；三角；几何中图分类号：G633．6复数是高中代数的重要内容，由于复数由于nc一和ad+bc都是整数，故命题知识沟通了代数、三角、几何之间的内在联得证．系，所以根据问题的特点构造复数，并利用

2、复例2设P∈R，方程X一2x+2—0的数的有关知识求解，就能为我们解决代数、三两复根的对应点为A，B，方程z+2pz一1—角、几何等问题提供新的解题思路．0的两复根的对应点为C，D．若A，B，C，D41利用复数解决代数问题点共圆，求实数P的值．例1有两个数，其中每一个都是两个注意到A，B两点关于轴对称，C，D两整数的平方和，证明它们的积仍是两个整整点在X轴上及A，B，C，D4点共圆，所以CD的平方和．是圆的直径，从而问题得以解决．由复数的代数形式及运算，联想到如将解用A，B，C，D同y／‘l两个数均表示为共轭复数的积，问题得以解

3、时表示对应的复数，则方／＼决．程。一2x+2—0的两根证设两个数A一1+i，B一1一i，方程‘＼．m=a。+6。，一c+d(n，b，C，d∈Z)，X。+2px一1—0的两根图1则它们可以表示为为C，D，由P为实数可m一(n+bi)(口一i)，知，C，D为实数．设H为点A在轴上的射一(c+di)(c—i)，影(如图1)，因为A，B，C，D4点共圆，则从而lCHI·lHDI—IAHI。，m·一[(口+6i)(a-bi)']即(1一C)(D一1)一1，．[(c+i)(c—i)]从而一[(n+6i)(f+i)]C+D一2+C·D。·[(

4、a-bi)(c—i)]由C，D是方程X+2p一1—0的根知一(ac-bd)。+(ad+bc)．C+D一一2p，C·D一一1，收稿日期：2014—03—0166数学教学研究第33卷第4期2014年4月．3n40’⋯o一22p=_1，一丢．．n一——2。3利用复数解决几何问题复数的几何意义是表示复平面上的点．因此，通过复平面可以实现复数与平面几何例3计算arcsin号一arcc。s2．之间的变换．由于这种变换是同构的，因此，我们不仅可以借助于几何图形来研究复数问解因为．题，而且可以借助复数运算来研究几何问题．arg(3+4i)=ar

5、csin詈∈(o，号)，例5A，B为平面上两定点，C为平面上位于直线AB同侧的一个动点，以AC，BCarg(2=arccos~5E(。，詈)，各为边，在△ABC外作正方形CADI，CBEJ．证明：无论C点取在直线AB同侧的任何位置，DE的中点M的位置不变．盯mi一∞oS解用表示点的字母同时表示对应的复数，则由CADI和CBEJ都是一arg正方形(如图2)可得D—A．E—B⋯图2一。，一，层}J一aan·D—A+(C—A)i，E—B+(B—C)i，例4求n：==c。s+c。s+c。s．而DE的中点解令一(一)，则M一告[A(1-i

6、)+B(1+i)]与动点C无关，故命题得证．一Re(·)例6求证：三角形3条中线共点．证设三角形3顶点为A，B，C，点M为一Re()边AC，BC中线的交点，同时用A，B，C，M表示上述点对应的复数，因为点A，M，下B+C；一]B，M，A_共线，故存在实数2,／1∈(0，1)，∞使得M一(1—2)A+AB+C——InJj，第33卷第4期2014年4月数学教学研究67M一(1一)B+A+C2一(++碲)丁，+(商++)，消去M得即一(+)．E2(1一)一]A+一2(1一)]B+(一)C=O．(1)同痢一(赢+茄)．因此因为A，B，C

7、不共线，且方程(1)中A，B，C系数和为零，所以IF—El一百II(D-A)+(C-B)I2(1～)一一一2(1一)一——O．≤(ID—AI-I-IC—BI)，故有一一2即M===1(A+B+c)，，这说IN—MI一百1J(A—B)+(D—C)明交点M与中线选择无关，所以3条中线共点于M≤1(IA—BI+ID—C1)．例7凸四边形对边中点连线叫凸四边于是形的中位线．若凸四边形两条中位线的和等fF-Ef+fN—MI于周长的一半．求证，此四边形是平行四边形．~-(ID．——AI+lC-——BI)证设E，F，M，N+IA—BI+ID—

8、c1)，分别是四边形ABCD的其中等号当与赢同向，与同向时边AB，CD，BC，DA的中成立，即四边形ABCD为平行四边形．点(如图3)，建立复平面，参考文献用字母同时表示对应的复Eli叶军．数学奥林匹克教程[M]．长沙：湖南师范数，则图3大学出版社，2003．(