共轭复数的性质在初等几何问题中的应用

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1、共轭复数的性质在初等几何问题中的应用摘要：本文通过总结共轭复数的性质，将其运用于几何问题，给出了初等几何证明的新方法。　　关键词：共轭复数复平面几何意义　　　　复数是中学数学中重要的内容，共轭复数在中学数学中只提到概念，而对于性质则没有涉及，然而共轭复数及其性质却在证明初等几何问题中有广泛的应用.本文就利用共轭复数及其性质来证明初等几何中的一些问题.　　共轭复数中，设z=xiy，则z的共轭复数为=x-iy，显然

2、

3、=z，Arg=-Argz（其中Argz表示复数z的辐角）.在复平面上，z与两点是关于实轴的对称点.性质［１］如下：　　（1）=z，=±　　（2）=，=（z≠0）　

4、　（3）

5、z

6、=z，Rez=，Imz=　　（4）设R（a，b，c，…）表示对于复数a，b，c，…的任一有理运算，则：　　R（a，b，c，…）=R（，，，…）.　　例1.设z及z是两个复数，试证：

7、zz

8、=

9、z

10、

11、z

12、2Re（z），并应用此等式证明三角不等式

13、zz

14、≤

15、z

16、

17、z

18、.　　证明：∵

19、zz

20、=（zz）（）=（zz）（）　　=zzzz=

21、z

22、

23、z

24、（zz）　　=

25、z

26、

27、z

28、2Re（z）　　∴等式成立.　　∵

29、zz

30、=

31、z

32、

33、z

34、2Re（z），且Re（z）≤

35、z

36、=

37、z

38、

39、z

40、.　　

41、z

42、

43、z

44、2Re（z）≤

45、z

46、

47、z

48、2

49、z

50、=

51、z

52、

53、z

54、2

55、zz

56、　　＝（

57、z

58、

59、z

60、

61、）.　　∴

62、zz

63、≤

64、z

65、

66、z

67、（等式中等号成立的条件是向量z，z同向）.　　例2.证明：

68、zz

69、

70、z-z

71、=2（

72、z

73、

74、z

75、），并说明其几何意义.　　证明：对任意复数z，由性质（3）知

76、z

77、=z，则：　　

78、zz

79、

80、z-z

81、=（zz）（）（z-z）（）　　=（zz）（）（z-z）（）　　=（zzzz）（zz-z-z）　　=2（zz）=2（

82、z

83、

84、z

85、）　　即

86、zz

87、

88、z-z

89、=2（

90、z

91、

92、z

93、）成立.　　几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的一组邻边和的2倍.　　例3［２］.若β为单位圆内点，α为复平面上点，证明：＝1，当

94、α

95、=11，当

96、α

97、>1，并说明其几何

98、意义.　　证明：（1）当

99、α

100、=1时，由α≠β得，＝=＝=1　　（2）当

101、α

102、0，即1时，同（2）知

103、1-β

104、-

105、α-β

106、1　　等式的几何意义：当β为单位圆内点，α分别为单位圆上，单位圆内和单位圆外点时，对应的点z=分别在单位圆上、圆内和圆外.　　例4.试证：两向量（z=xiy）与（z=xiy）互相垂直的充要条件是zz=0.　　证明：∵⊥∴

107、z-z

108、=

109、z

110、

111、z

112、　　则

113、z-z

114、=（z-z）（）=zz-z-z　　=

115、z

116、

117、z

118、-（zz）　　由以上两式可得：zz=0　　例5.设z，z，z满足条件zzz=0及

119、z

120、=

121、z

122、=

123、z

124、=1，试证z，z，z是一个内接于单位圆周的

125、z

126、

127、=1的正三角形的顶点.　　证明：由题意知，点z，z，z在单位圆

128、z

129、=1上，要想证z，z，z是一个内接于单位圆周的正三角形，只需证

130、z-z

131、=

132、z-z

133、=

134、z-z

135、=.　　∵zzz=0∴

136、zz

137、=

138、-z

139、=1　　∴

140、zz

141、=（zz）（）=（zz）（）=zzzz　　=

142、z

143、

144、z

145、（zz）=2（zz）　　则zz=

146、zz

147、-2=-1　　∵

148、z-z

149、=（z-z）（）=（z-z）（-z）=zz-z-z　　=

150、z

151、

152、z

153、-（zz）　　∴

154、z-z

155、=2-（-1）=3，即

156、z-z

157、=　　同理可得：

158、z-z

159、=

160、z-z

161、=　　综上可得，命题成立.