仿射变换的性质及其在解初等几何中的应用

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1、仿射变换的性质及其在解初等几何问题中的应用摘要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过度到射影变换的重要桥梁，本文将从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射变换在初等几何中的一些应用。关键词：仿射变换；仿射不变性；初等几何Abstract:Affinetransformation,namelyparallclprojection,isanimportanttransformationingeo

2、metry.Itisthebridgefromthemotionconvertingtotheprojectivetransformation.Thisarticlewillstartwiththeconceptofaffinetransform,tounderstandthegeometryofaffinegeometryrescarchbyaffinetransformationincariantpropertiesandconstantrelationshipbetweenthenumberaftert

3、hedeformedshapeandpositionalrelationship,anddiscussedsomeapplicationsofaffinetransformationinelementarygeometry.Keywords:affinetransformation;affineinvariance;elementarygeometry1仿射变换的基本概念及相关性质1.1仿射变换的概念几何对象在绘制以前，需要经过一系列的变换。在计算机图形学里一般使用的一类几何变换，称作仿射变换(affinet

4、ransform)。仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，仿射变换保留线的平行性质。维持任意两点距离不变的仿射变换，也称为等距变换(isometry)，欧几里得运动(Euclideanmotion)或刚体运动(rigidmotion)。其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，常见的仿射变换包括：平移、旋转、反射、缩放、错切。此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0,0,1)。该变换矩阵将原坐标(x,y)变换为新坐标(x',y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末

5、一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：[x']  [m00m01m02][x]  [m00*x+m01*y+m02][y']=[m10m11m12][y]=[m10*x+m11*y+m12][1]  [0  0  1][1]  [    1        ]用代数式表示如下：x’=m00*x+m01*y+m02；            y’=m10*x+m11*y+m12；如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：几种典型的仿射变换：1.平移变换是一种“刚体变换

6、”，中学学过的物理，都知道什么叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。2.缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍。3.错切变换，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。4.旋转变换，目标图形围绕原点顺时针旋转theta弧度。5.反射变换，目标图形以(x,y)为轴心顺时针旋转th

7、eta弧度相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合。1.2仿射变换的性质（1）仿射变换保持同素性：即仿射变换将点变成点，直线变成直线；（2）仿射变换保持结合性：即仿射变换保持点与直线的结合关系；（3）仿射变换将向量变成向量，且保持向量的线性关系。定理1  两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线. 推论1  两条相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线. 推论2  共点的直线经仿射变换后仍变为共点直线. 定理2  两条平行线段之比是仿射不变量. 推论  一直线上两线段之比是仿射不变量.定理3  两封闭图形（如

8、三角形、平行四边形、椭圆等）面积之比是仿射不变量. 2 仿射变换与初等几何的相关联系从总体上看,高等几何对初等几何具有多方面的指导意义.在此,笔者择要阐述两种,以此说明高等几何对初等几何普遍指导意义。 一是学习高等几何能深化对初等几何的认识和理解.几何学是一种研究在相应的变换群下图形保持不变的质和量的科学,射影群、仿射群、正交群所对应的是射影几何、仿射几何、欧氏几何,根据普遍性包含于特殊性的原理可知