仿射不变量在初等几何中的应用.pdf

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1、第26卷第1期六盘水师范学院学报V01．26N0．12014年2月JournalofLiupanshuiNormalUniversityFeb．2014仿射不变量在初等几何中的应用秦进(遵义师范学院数学系，贵州遵义563002)摘要：简要叙述克莱因(F．Klein)几何观点，介绍几个仿射不变量，探讨如何利用仿射变换中的不变量解决一些初等几何问题，体现了高等几何对初等几何有重要的指导意义。关键词：仿射变换，不变量，初等几何中图分类号：O18文献标识码：A文章编号：1671．055X(2014)01．0062．04DOI：10．3969~．issn．1671—055X

2、．2014．01．014U~．geofVariantVolumeTr~_nsformationinElemeataryGeomenyQINJin(DepartmentofMathemtics，ZunyiNormalCollege，Zunyi563002，China)Abstract：ThepresentpapernarratesF．Klein’Sgeometricvienpointinbrief,byintroducingthedefmitionandseveralcharactersofafinetransformation，anddisscussesowtos

3、olvesomeelementarygeometricproplemsbyuseoftheinvanableandinvanabilityinafinetransformationand，manifesttheimportantguidingsenseofhighergeometrytoelementarygeometry．Keywords：afinetransformation；invariantvolume；elementarygeometry．德国数学家克莱因(F．Klein)于1872年在德国埃尔朗根大学所作题为“近世几何学研究的比较评论”的报告中首先将变

4、换群与几何学联系起来给几何学以新的定义(梅向明等，1983)。集合s叫做空间，它的元素叫做点，它的子集叫做图形，凡是等价的图形属于一个等价类，于是同一类里的一切图形所共有的几何性质和几何量必是变换群下的不变量和不变性；反之，图形在变换群中一切变换下的不变量和不变性，必是同一等价类里一切图形共有的性质。根据克莱因几何观点，图形在仿射变换群下的不变性和不变量的命题系统构成了仿射几何，仿射几何是高等几何的一个重要内容，它是从欧氏几何到射影几何的桥梁，用变换群去研究相应的几何学(罗崇善，1999)，阐述了几何学的本质是变中求不变，仿射不变量在初等几何中的应用要抓不变量的“

5、不变”两字上。1仿射不变量定义l：平面上点之间的仿射变换式为：Ir·=11+12Y+I3’△II=．l口l1以l2I≠0lYa21x+a22Y+a23，I口21以22lrT、性质l：单比不变是仿射不变量。设P1(xl，y1)，(z，Y2)，8(x3，Y3)是共线三点，经过变换后，它们的对应点顺次为共线三点(l，1)，尸2(X2，Y2)，(3，Y3)．X3-X1’耻X：YY一(尸2)：3—2：3—2：．’蠢一由仿射变换式(I)，得：(’P2’·)：{4X3——X2收稿日期：2013．11．22作者简介：秦进(1975一)，男，苗族，贵州务川人，副教授，主要从事几何偏

6、微分方程及其应用研究。1575675832@qq．com一62—秦进：仿射不变量在初等几何中的应用(allX3+口l23+al3)一(allX1+al2x2+a13)一(allX3-I-a12Y3+a13)一(口ll2+al2Y2+a13)口l1(3一1)+a12(3一Y1)一all(3一2)+a12(Y3一Y2)=所以(P2)：(’)性质2：两三角形面积之比是仿射不变量。设不共线三点(l，1)，P2(x2，y2)，P~(x3，3)经过仿射变换对应点分别为123’(xl，：)，(，)，(，)．OOO由坐标(，1)，(x2，y2)，(x3，3)三点形成三角形的面积为

7、：由坐标(：，J，)，(，)，(，)．三点形成三角形的面积为：枷lat1=一Y2122，Y313由仿射变换式(I)，得：allXl+al2Yl+口l．1=——aHx2+al2Y2+口l32allX3+a12Y3-I-a]3xIYllalll2Y21a1223Y31a13=SIaria22一a2ta12所以=I口，。口：一口。口。：同理，若三角形DEF在仿射变换下的对应图形是三角形D’’，’，则同样有：Sao，ET，=I口ll口22一口2l口12SA聊SS,w屯，F，所以，S一63一六盘水师范学院学报SS。即’这表明两三角形面积比是仿射不变量。性质3：两个封闭图形面

8、积之比是仿