第四章 仿射变换在初等几何证明中的作用_作业.doc

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1、一、必做作业1．用仿射几何与初等几何两种方法证明以下各题：1）过的顶点任作一条直线，与边及中线分别交于点及，求证．证明1(初等几何)：过点B作CF∥BH,并延长AD交HB于点G.因为CD=DB,易得四边形CFBH为平行四边形，从而得到ED=DG;由平行线分线段成比例，则AE:EG=AF:FB,又EG=2ED,所以AE:2ED=AF:FB,即AE:ED=2AF:FB.证明2（仿射变换）建立仿射坐标系：A(0，0),B(b，0)，C(0，c)则D(b/2,c/2),下面设CF:y=kx+c,分别求E和F的坐标。因为AB:y=0，从而得到F(-c/k,0),AD:cx-by=0.

2、与CF联立，得E(bc/(c-kb),c2/(c-kb))AF:FB=-c/k:((b+c/k)=-c/(kb+c),AE:ED=bc/(c-kb):[b/2-bc/(c-kb)]=-2c/(kb+c)所以AE:ED=2AF:FB.2）（梅耐劳斯定理）设分别在的边及（或延长线）上，求证：三点共线的充要条件是证明：如图，建立仿射坐标系：以BC为x轴，以BA为y轴，B(0，0),C(a,0),A(0，b)，M(x0,0),L(0,y0)，则直线AC的方程为：，直线ML的方程为：，联立上述方程，可求得N点坐标为（）。3）已知中，是边上的中点，是上的任一点，连结并延长交于，连并延长

3、交于，求证//．证明：如图，延长AD至K使得DG=DK,由于BD=DC,所以四边形BKCG为平行四边形，所以进一步得到FG∥BK,KC∥GE,在△ABK和△AKC中，根据平行线分线段成比例知：FE∥BC2．利用“圆的仿射变换像是椭圆”这一结论，试将与圆有关的一些结论移植到椭圆上去，并给出证明．性质1证明：设椭圆方程：，则经仿射变换，则其对应的图形为圆形，解析式为，椭圆内的的各个定点坐标分别是O（0,0），A（a，0），B（0，b），对应到仿射的圆形中的左边为O（0,0），（a，0），（0，a），所以,所以所以椭圆的面积=πab