资源描述：
《几何证明与初等几何变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、不14卷嘴刊甘肃教育学院学报(自然科学版)Vol.14SuPP.2000年6月ournalofGansuEdueationCollege(Natural段ienees)uneJJ2000:一一0一文章约号10079912(2000)5101404几何证明与初等几何变换董小平(甘肃教育学院数学系,甘肃兰州730000).摘要:分析了几何证明与初等几何变换的要素及其关联:;;关锐词证明初等几何变换中:()182文献标识码:A图分类号1几何证明分析.11Euclid几何公理体系,,,现行中学初等几何内容上可追溯至古希腊Euclid的《几何原本》后经Hi.bert的工作形成了一个
2、公理化的演绎系统.,:、、,,概略讲规定了原始概念(包括基本元素点直线平面及其关系)提出了五大类公理共.,,,,:20条它们是结合公理(8条)顺序公理(4条)合同公理(5条)平行公理(l条)连续公理.、.(2条:)并且它们满足和谐性独立性和完备性1.2几何证明的意义、结构和规则,、、、数学命题是表达数学判断的陈述语句数学命题还可进行否定(非)合取(与)析取(或)蕴涵(如果⋯,那么、(当且仅且).⋯)等价等运算,“”、“”,:以P~q表示原命题则其条件P和结论q分别进行换位换质变动便构造出:,:,:逆命题q~p否命题万~万逆否命题互~五几何证明就是根据一些已经确定真实性的命
3、题(公理和已证定理)来断定某一几何命题,,的真实性的思维过程换言之几何证明是由公理和已证定理组成的由欲证命题条件到结论的逻辑链.几何证明都由论题、论据和论证三部分组成.正确的几何证明应遵循的一般规则有:(l)论题清楚、明确,始终同一(2)论据必须充分、真实.(3)论证严格遵循推理规则,保证逻辑严谨.1.3几何证明的方法及其逻辑墓础,从所求证命题看有(:几何证方法明直接证法综合法思考顺序由因导果):分析法(思考顺序执果索因)间接证法同一法反证法归谬法穷举法:.收稿B期2000一07一10:.董小平一),,作者简介(男讲师增刊:几何证明与初等几何变换I1小平、;直接证法是用已
4、知概念真命题和推理规则直接证明所证命题p~q为真间接证法是证明所求命题的否定(P~妇是假,或证明所证命题的等价命题为真.;综合法与分析法的逻辑依据都是逻辑的分离原则蕴涵式的传递性反证法的逻辑基础是,P~g~RAR二P‘,~o三P~9VO二P一,即P八g~RAR三PA,~0三P~,q同一法只适用于条件和结论所指的概念具有同一关系的命题(亦即原命题与逆命题同真同假).,从证明内容看又有等线段的证明等角的证明和差倍分的证明数量关系不等量的证明,等积式比例式的证明定值问题的证明几何证明方法最值问题的证明平行线的证明垂直线的证明共线点的证明位置关系共点线的证明共圆点的证明共点圆的证
5、明,从利用工具看又有利用公理、已知定理构造全等形(主要是全等三角形)几何证明方法,、,,借助计算(利用面积正余弦定理勾股定理三角函数等)利用反射、平移、旋转等初等变换2初等几何变换2.1概念诊释,,在几何中不仅要研究各个变换的性质还要研究变换之间的联系和某类变换是否成“”,,,群的问题就需考虑变换是否可逆变换能否连续施行为此需把变换限制为平面到自身的一一映射.:,,几何变换可定义为对平面JI上每一点尸通过某一确定的法则f在平面几上皆有一点Q.,且这种对应是一一对应,月上的一个变换与之对应则称f是平面2.2分类初等变换是指初等几何所涉及的主要变换,通常包括合同变换和相似变换
6、两大类.具体分:类为初等几何变换合同变换保向的合同变换平移(保距变换)旋转中心对称—16甘肃教育学院学报(自然科学版)第14卷变向的合同变换反射—相似变换同向相似同向位似—(保形变换)反向相似反向位似2.3墓本不变l及不变性—;位;合同变换的基本不变量是任二点的距离似变换的基本不变量是任二线段之比相似变换的基本不变量是任二线段之比和任二直线之夹角..:、、;位似变换的基本不变性有平行性保角性保圆性相似变换的不变性有保圆性2.4,要性质性质l任一合同变换皆可分解为不多于三个的反射之积.性质2任一相似变换皆可分解成一个位似变换与一个合同变换的澳积.性质3所有的平移变换成群;所
7、有的旋转变换成群;所有的相似变换也成群.2.5在几何证明中的应用,,.:例l在△ABC中M是BC的中点求证AB+AC>ZAM:,,、,,例2梯形中位线定理之逆在四边形ABCD中MN分别是ADBC的中点且MN一,.1:/2(AB+CD)求证ABCD是梯形,.AD、1AD十例3设MN分别是任意四边形ABCD两对边BC之中点则MNBC.例1~例4是平移之应用,图形和证明过程省略.5。,,一,e,、例设艺材oN=20月在。材上且O八一
