第十六章 初等几何变换.pdf

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1、第十六章初等几何变换习题十六用平移变换，解下列各题（1～3）。1.证明：对角线相等的梯形是等腰梯形.证明：过D作AC的平行线DE交ADBC的延长线于EBCE∴四边形ACED为平行四边形第1题图∴AC=DEAD=CE∴BD=AC=DE∴∠DBE=∠DEB而∠ADB=∠DBE∴△ADB≌△DEC∴AB=CD2.以△ABC三中线为边构成的△A´B´C´，又以△A´B´C´三边中线为边构成的△A〞B〞C〞，求证：（1）△ABC与△A〞B〞C〞相似，且相似比是4:3；（2）S△ABC:S△A´B´C´=S△A´B´C:S△A〞B〞C〞=4:3A证明：（1）设G是△ABC的重心，D为BC边的中点，将

2、GD延长一倍到E（即将BG平移到CE），那么△CGE的G三边等于△ABC各中线的2/3，BDC即△CGE∽△A´B´C´且相似比是2:3，E由于△CGE的中线CD=BC/2，第2题图可见△A´B´C´的一条中线长等于313.这就是说BCBC224△A″B″C″的边长是3、3、3，从而（1）得证.BCCAAB444（2）因为相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以32S△A´B´C´=()S△CGE=9191131(BCh)(BCh)(BCh)2421423423S△ABC4∴S△ABC:S△A´B´C´=4：3同理S△A´B´C´：S△A″B″C″=4：33.试证：三角形

3、的大边上的中线比小边上的中线短.A证明：设AB＞BC＞CA,由△BCF与△CAF，得∠BFC＞∠AFCFEG由△BGF与△AGF，得BG＞AGBD∴BE＞ADC第3题图用旋转变换解下列各题（4～12）4.已知P是正方形ABCD的对角线BD上任一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证AP⊥EF.DFC证明：由题意知PF=DFPE=BEPEF´将△EPF绕P点顺时针旋转90°到△E´PF´∴PF=PF´∴DF=AE´=PF=PF´∴PF´∥=AE´AE´B第4题图∴四边形AE´F´P为平行四边形∴AP∥E´F´E´F´⊥EF∴AP⊥EF5.平面上给定相等但不平行的两条线段AB和A´B´,求

4、一个旋转中心O,使绕它旋转AB能与A´B´重合。解：连接AA´、BB´，分别作AA´、OBB´的垂足平分线，因为AB与A´B´不平行，所以上两垂直平分线必相交，设交点为O，则以O为旋转中心，绕O旋转ABA´A就能与AB重合.B´证明：由作法知OA=OA´，OB=OB´，B第5题图AB=A´B´△OAB≌△OA´B´∴∠AOB=∠AOB∴∠AOA´=∠BOB´6.设D为等腰直角三角形ABC斜边BC上任一点，求证：BD²+CD²=2AD²A证明：以A为中心将△ABD旋转π/2D´角到△ACD´∴△ABD≌△ACD´BDC∴AD=AD´，BD=CD´第6题图∴AD⊥AD´CD´⊥CD∴BD²+

5、CD²=CD´²+CD²=DD´²=AD²+AD´²=2AD²即BD²+CD²=2AD²AG7.在Rt△ABC中，∠C=90°，以AB为边作正方形ABDE，以ACE为边作正方形ACFG，它们都包含FF´CBRt△ABC，求证：CE⊥BG.H证明：将△ABG以A为中心旋D转90°到△AEC第7题图∵AG⊥ACAB⊥AE∴CE⊥BG.8.在正方形ABCD内，∠EAF=45°，E在BC上，F在CD上，又AH⊥EF于H，求证：AH=AB.DFC证明：将△AFD绕A点旋转90°，使△AFD与△ABF′重合.∴C、E、B、F′在一直线上.HE∵∠EAF==45°∴∠BAE+∠FAD=45°BA∴∠F

6、′AB+∠BAE=45°∴△AF′E≌△AEFF′第8题图∴AH=AB9.在等边三角形ABC的三边BC、CA、AB上，各取一点A₁、B₁、C₁，使BA₁=CB₁=AC₁，设AA₁、BB₁、CC₁相交构成△A₂B₂C₂，求证：△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂也都是等边三角形，并且有相同的重心.证明：设△ABC的中心为O，显然A三角形三边在O点的视角都是120°，如果将△ABC绕O点旋转120°，那C₁B₂么，由于OA=OB=OC，则有A、B、C·OA₂B₁三点相继换位。于是BC上的点A₁旋转C₂后落在原先线段CA上，并且由于CBA₁BA₁=CB₁，所以A₁点旋转后就落在原第9题图先B₁的位置

7、。同理，旋转120°的结果是A₁、B₁、C₁三点相继换位，可见，OA₁=OB₁=OC₁又由已知条件易证△CA₁B₁≌△AB₁C₁≌△BC₁A₁∴A₁B₁=B₁C₁=C₁A₁△A₁B₁C₁是正三角形因此，O点是△A₁B₁C₁的外心，也是它的重心。另一方面，旋转120°以后，BB₁和CC₁，落在CC₁和AA₁原先的位置。因此，BB₁和CC₁的交点A₂将落在CC₁和AA₁的交点B₂的原先位置上。所以旋转120°后，A₂、B₂、C₂三点也相