仿射几何及其在初等几何的应用

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1、仿射几何及其在初等几何中的应用仿射几何及其在初等几何的应用冯朝华摘要：数学概念的辨证性质，渗透贯穿在数学各个部分之中，数学概念是研究数学性质的最基本的条件，我们从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射几何在初等几何中的一些应用。关键字：平行射影简比仿射性仿射量共线点图1-1定义1对于a和a′是平面不平行的两条直线，设l为平面上一条直线，通过直线a上的诸点A，B，C，D，……作l的平行线，交a′于A`，B`，C`，D`，……，这样便

2、定义了直线a到a′的一个映射。称为透射仿射(平行射影)，a上的点为原象点，a′上的点为象点，l为平行射影的方向，记这个透射仿射为T，则写A′=T(A)。图1-2有了以上的定义后，我们来观察一种较常见的几何变形——平面到平面的透射仿射。如下图所示，设π与π`为空间中的两个平面，l是跟这两个平面都不平行的方向(向量)。平面π上的直线a，对过直线上的点A作平行于l的直线交平面π`于点A`，用同样的方法可作出点B和点C的对应点B`，C`。于是便建立了平面π到π`的对应关系。称为π到π`依方向l的透射仿射。根据初等几何的知识，我

3、们很容易可以验证这种平行投影具有以下的性质：π与π`之间的点建立一一对应关系，即π上的点通过变换成为π`上点；π上的直线变成了π`上的直线；若一个点A在l上，则A的对应点A`也应在l的对应直线l`上；π上平行的两直线变到π`上的两条直线也是平行的。直线上的三点的“单比(简比)”保持不变，也就是如果A,B,C是π上共线的三点，A`，B`，C`分别是它们的象点，则。我们把称为透射仿射具有同素性，把满足称为透射仿射具有结合性。第9页共9页仿射几何及其在初等几何中的应用而满足则称为透射仿射具有平行性。这是二平面间的透射仿射变换

4、的概念和一些性质，利用此可以建立仿射变换的概念。定义2如果有π1，π2，……πn+1个平面且πi和πi+1(i=1，2，……，n)两个平面间建立透射仿射变换，就形成了一个透射仿射变换链，最初一个平面π1和最后一个平面πn+1之间的一一对应就叫仿射变换。所以仿射变换是由组成它的透射仿射变换来决定的，也就是说，透射仿射变换是特殊的仿射变换。仿射变换应该是有限次透射仿射变换的乘积。如果平面π与平面πn+1重合，则π到π`的仿射对应叫做平面π到自身的仿射变换。由上述可知，透射仿射变换和仿射变换是有区别的：1、透射仿射变换的对应

5、点连线相互平行的，而在一般情况下，仿射变换的对应点的连线是不平行的。当π1//π2//……//πn+1或是π1，π2，……πn+1共线时，π1到πn+1的对应点的连线是平行的。(证明略)(反之则不真)2、二平面的透射仿射变换，当两平面相交时，其交线为自对应轴，也就是说，交线上的每个点都是自对应的。而两平面的仿射变换一般没有自对应轴。仿射几何是研究仿射不变性和仿射不变量的学科。所谓仿射不变性和不变量是指：图形经过仿射变换后不改变的性质。也有称之为仿射性。图形经过仿射变换后不改变的量，称为仿射不变量，或叫做仿射量。根据仿射

6、的定义可知到，同素性，结合性是最基本的仿射不变性，而共线三点的单比不变则是最基本的仿射不变量。定理1二直线间的平行性是仿射不变性证明：设a，b是平面π内的两条平行线，a`，b`是它们在平面π`内的仿射映象，因此只需证明a`//b`。图1-3若a`与b`不平行，则在平面π`中必相交于一点P`，且使P是P`的原象点，那么由于仿射保留结合性，点P应该既在a上又在b上，既是说a和b是相交而不是平行，矛盾！所以a`//b`，所以命题成立。于是进一步可知：推论1.1平行四边形是仿射不变图形。第9页共9页仿射几何及其在初等几何中的应

7、用因为两组对边分别平行，通过仿射变换后也应该是分别互相平行。推论1.2两直线的相交性是仿射不变性。推论1.2.1共线的直线经过仿射变换后任变成共点的直线。推论1.2.2梯形是仿射不变图形。例1线段的中点具有仿射不变性。证明：设C是线段AB的中点，且在仿射变换下，A→A`，B→B`，C→C`。由仿射变换保结合性，故C`在直线A`B`上，又因为共线三点的单比是仿射不变量，于是有即C`任是A`B`的中点。所以，线段的中点具有仿射不变性。定理2两平行线段之比是仿射不变量在此用综合法来证明。证明：如下图，已知AB//CD，经过仿

8、射变换φ后，AB的象为A`B`，CD的象为A`B`，下证。图1-4由于仿射变换保持结合性，可知AD的象为A`C`。作BE//CD于E则ABCD为平行四边形，∴AB//CDAC//BE。若E的对应为E`，由结合性可知，E`在C`D`上。BE的象为B`E`。由仿射变换保平行性，可知A`C`//B`E`。由AB//CD，可知A`B`//