对称思想在初等数学解题中的应用

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1、对称思想在初等数学解题中的应用：对称思想是一类非常重要的数学思想，它指的是用具体的方式去寻找或展现问题中的次序.从而将简化乃至解决问题。本文将从几何对称，代数对称和多项式不等式对称这三个方面，阐述对称思想在初等数学解题中的应用。　　关键词：对称思想;初等数学;解题　　：G42：A：1009-0118（2011）-06-0-02　　　　一、对称的定义及应用时应注意的问题　　我们都对对称有一种直观的感受，然而，如果能用一种正式的方式去定义对称的话，这将有助于加深我们对它的理解。如果通过一次或多次非平凡的行为使一个物体没有变化，我们就称这个物

2、体是对称的。为什么对称思想是一类非常重要的数学思想呢？因为它能起到简化问题的作用，这对于进一步分析问题是很有价值的。　　但我们在解决问题时，考虑是否使用对称思想时应该还需要注意以下两点：　　（一）应在一些不太可能的地方寻找对称，不要担心原来的问题并不对称。　　（二）对称的另一非正式定义是”和谐”。不论何时你观察一个问题的时候，看一看和谐和美，即便你不知如何定义这个词，但是，当你使得自己做得东西更加和谐或更加美的时候，则表明着你已经走上了正确的道路。　　本文将分别讨论对称思想在几何问题，代数问题和多项式和不等式问题上的应用。　　二、几何对

3、称　　例1.有一条河的走向是至西向东的，你家在这条河的北部距该河2英里的地方，你奶奶的家在你家的西方12英里北方1英里的地方。每天你都会从自己家到你奶奶家去，途中要到这条河（为你奶奶担水），问怎样选择路径才会使走的路程最短？　　问题分析与求解：首先，作图。将你家所在的位置记为点Y，你奶奶家所在的位置记为点G，你所到达的河的位置记为A该问题表面上看似乎没有对称性可言，但是河实际上提供了映射的作用，我们画一个简单路径，如图：　　Y＇和G＇分别为你家的房子和你奶奶家的房子关于小河折叠对称的映射。对于你到达河边然后担水到奶奶家所走的路径，我们在

4、河的南面做出一条关于小河对称的路径。注意到AG=AG＇，所以你到你奶奶家房子的对称点与到你奶奶家的路径长度不会变，因此。在这两点间的最短距离是直线。最终你选择的路径则是先走YB，再走BG。YBG的长度与的长度是相等的。该长度刚好是是一个直角边长分别是12英里，5英里的直角三角形的斜边长，因此答案是13英里。　　例2.有四个小虫子分别位于单位正方形的四个顶点上。突然，每个虫子都按逆时针的方向朝它相邻的虫子所在的位置爬去。已知每只虫子的爬行速度为1个单位长度每分钟，那么经过多长时间四只虫子可以在某一位置相遇？　　问题分析与求解：这是一种有关

5、旋转对称的问题，由于所有虫子的运动速度是一致的。如果他们开始的形状是个正方形，然后它们将会一直保持着那种形状。这是问题的关键所在，相信与否这都是个非常有效的突破口。随着时间一点一滴的过去，这些小虫子们的爬行路径形成了一个按逆时针方向收缩的正方形。但是正方形的中心点仍未改变。这个中心点是个很”特殊”的点，所以下面我们就来分析一下这个点。一旦我们将注意的焦点转移到自然参照系上，许多看似棘手的问题就会变得容易。在这种情况下，我们应考虑极坐标系，比如说，我们可以挑出其中的一只小虫子，观察从正方形的中心到这个小虫子两点间的线段。这个线段将会按逆时

6、针方向旋转，（更重要的是）且这条线段逐渐收缩。当它收缩到0时，这只虫子刚好与另一只虫子相遇。那么这个线段收缩的速度是多少呢？此时我们似乎已经忘掉了线在转动的这个事实。从这条辐形线观点来看，这只小虫总是按照45