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《浅谈对称思想在数学解题中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈对称思想在数学解题中的应用【摘要】数学问题屮，对称是一类较常见的问题。如数的对称、式的对称、图形的对称，而利用对称的性质来解决有关数学问题乂是数学思想方法的重要体现。教学中常常启发学生用对称思想思考数学问题，对增强学生解决数学问题的能力，启迪心智，大有裨益。【关键词】对称思想；数学；教学；解题思想对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一，是其运动、变化和发展的规律Z-O人们在认识和解决具有对称或对等以及反对等性的问题过程中产生和形成的思想、方法，我们称之为对称思想方法；数学家们用数学的思想、方法解决这类问题所产生和形
2、成的思想与方法，我们称之为数学对称思想方法。对一个整体，若存在可互换的诸部分，在数学上称为“对称”。用“对称”的原理去解决某些数学问题称为“对称的思想方法”。在中学数学中，主要有四种对称形式：①关于某个点的中心对称；②关于某条直线的轴对称；③关于某个平面的平面对称；④多项式对称。现在的各类考试屮经常冇这类的求解，下面笔者结合自身的教学实际，谈谈对称的思想方法在数学解题中的一些具体应用。一、求己知点的对称点的问题⑴点P（xO,yO）关于点（a,b）的对称点P'（x‘，y，）,可由中点坐标公式求得:⑵点P(xO,yO)关于直线
3、的对称点P'(x‘，y'),可由PP'及PP'的中点在直线上，得到关于x',y'的方程组：由此解得：特别地，点P(xO,yO)关于①x轴和y轴的对称点分别是P'(xO,-yO)和P'(-xO,yO)；②关于直线x=a和y=a的对称点分别是P'(2a-x0,yO)和P'(xO,2a-y0)；③关于直线y二x和y二-x的对称点分别是P'(yO,xO)和P'(-yO,-x0)o熟记这些结论，可以简化运算，提高解题速度。例］:已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、c(2,1)、D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB
4、夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA、和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角)。设P4的坐标为(x4,0),若Kx4<2,则tan的取值范围是()。分析：借助对称进行转化，兼用一般化与特殊法。注意到当P4点P0与重合时，则点P3、P2、P1应为DA、CD、BC的屮点，此时，点P1的坐标为，贝I」，所以，选项中只有(C)符合条件，所以选(C)o反思：依据单选题的特点，将点P4特殊化为P0(1,0),将P0镜面反射回到P0,由此得到tern取值区间的右端点为，四个选项中只有C有此端点，所以选(C)例2
5、：原点关于直线8x+6y二25的对称点坐标是()。分析：设对称点坐标为(x,y),其两点连线的斜率与直线8x+6y二25斜率互为负倒数解一：只需解方程组：解得:故对称点坐标为(4,3),所以选(D)o解二：用点关于直线的对称点的坐标公式，得：即对称点的坐标为(4,3),所以应选(D)o二、求二次曲线上点的对称点的问题二次曲线的弦的两端点是关于该弦的中心对称的，利用这种对称性，可以将弦的中点坐标转移到弦的两端点上來考虑，从而给出与二次曲线弦中点有关问题的简捷解法。若二次曲线F(x,y)二0的弦PQ的中点为M(x,y),则可设
6、P(x+a,y+b)、Q(x-a,y-b),当弦PQ的斜率k存在时，，进而知P(x+a,y+ka),Q(x-a,y-ka)这样就将弦中点坐标转移到了弦的端点上，只要将P、Q的坐标代入F(x,y)二0中，山于坐标的对称性会给求解带來极大的方便。例3：已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x±移动，记线段AB屮点为M。求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。分析：依据二次曲线上点的对称点的性质，设M点的坐标为(x,y),则A(x+a,y+b),B(x~a,y-b)。得：①②③由①-②，得a=2by由①+②，得b2-
7、x-y2④从而有a2=4y2(x-y2)⑤将④、⑤代入③，整理得点M的轨迹方程为。等号当且仅当时，即时成立。故点M到y轴的最短距离为，此时点M的坐标为。三、求已知曲线的对称曲线的问题在求已知曲线F(x,y)=0(关于已知点或已知直线)的对称曲线方程时，只要用曲线F(x,y)二0上任意一点(x,y)(关于已知点或已知直线)的对称点的坐标替换方程F(x,y)二0中相应的坐标即得。(1)知曲线F(x,y)二0关于点(x,y)对称的曲线方程为F(2x0-x,2y0~y)=0(2)已知曲线关于直线f(x,y)二Ax+By+C二0对称
8、的曲线方程为：特别地，对曲线F(x,y)二0①其关于x轴和y轴的对称的曲线方程分别是F(x,-y)二0和F(-x,y)=0②其关于直线xp和y二a的对称曲线方程分别是分别F(2a-x,y)=0和F(x,2a-y)=0③其关于直线y二x和y二-x的对称曲线方程是F(y,x)二0和F(-y,-x)=0例4：
