初等数学解题研究新版.doc

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1、初等数学解题研究西南师大附中戴宇时间：二○一二年二月·64·初等数学解题研究前言·83·恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”这就是说，数学是研究数与形的关系的一门学科，它是以解决客观世界的事物的内在逻辑联系的“问题”为主要目的．在这个意义上来讲，探索解决数学问题的解题规律及解题方法就是十分重要的．通过对数学形态的内在基本结构的分析和研究，从而顺利地解决问题，对提高我们的数学思维方式及解决问题的能力都有十分重要的意义．数学的内容就是由一种形态与另一种形态的对比和关系的转化．要解

2、决好一个数学问题，我认为首要的是要对一个数学问题构成的结构要先有充分的认识，再熟知一些推演关系的基本手段及方法．其次，要善于把问题的假设和结论沟通起来，借助已有的（尽可能多的）数学知识和数学理论，从而顺利地解决问题．解决问题有“通法”和“巧技”，但我们一定要知道“巧”不是解题的大道，只是一条捷径，而捷径不是处处都有的．只有练好解题的基本功，则解题的捷径也就不难找到．要掌握解题的通法，必须要知道一些数学形态的“通性”，即它的内部结构及这些结构的逻辑联系、演化规律．每一种典型的基本结构在数学形态中的作

3、用以及处理它的一些常见的数学方法和数学知识．解题能力的大小，就是你拥有的这种数学知识的体现．它就像要给人治病，必须先了解人体的各部分组成的器官和构成器官的细胞和它们的生命作用．只有这样练好了基本功，就会得到解题的通法，找到处理数学问题的“大道”．这里还有一个数学能力的问题，具体点说，还有人通过对数学问题的研究和学习得到处理数学问题的有效程度的大小和解题能力．能力是一种稳定的个性心理特征，它影响人们的数学学习活动能否顺利完成；影响数学学习活动的效果．正如瑞典心理学家魏德林（I·Werdelin）指出

4、的“数学能力是理解数学的问题、符号、方法和证明的本质的能力；是学会它，在记忆中保持和再现它们，在解数学（或类似的）课题时运用它们的能力．”总之，通过对数学问题的基本结构进行深入的分析，对各种基本结构彼此关联的本质进行探索，掌握好处理数学问题的一般的数学思维方式和方法，才能达到掌握解决问题的本领．把初等数学作为一个系统，用“结构”的观点来进行分析研究，就是本文的目的．所谓“结构”，就是追根溯源，从一个科学体系的最基本的“细胞”开始研究，寻找其内部的联系和规律，从而达到对整个系统的认识，使研究的方法、

5、结果更具科学性和一般性．任何一个科学体系的基本结构，抽象为数学语言，就是我们所谓的“元”．（如心理学上的“原认知”，物理学上的“基本粒子”，化学上的元素，生物学上的DNA等等．）一、简化规则在数学形态转化中的应用·83·认识一个数学问题，对它进行处理，有一个最基本的思想，那就是将这个数学问题简单化，从而发掘出此问题的内在的演化规律，以及它与已有的数学结论之间的联系，从而达到使用最优的逻辑演算和推理方法来解决问题，这就是人们通常说的简单化原则．不管问题的形态多么复杂，但它都由一些基本结构组成，就像一

6、个生命体，它由各种各样的细胞构成，正是这些细胞的相互关联的生命运动，才使生命充满了活力．要认识生命，就必须认识这些细胞．同样地，要解决数学问题，也必须认识数学的一些基本结构，以及这些结构在数学中的作用．按自然辩证法的观点，数学的简单化原理也应该有规律可循．对用数和式组成的数学形态的处理，探求简化规则，就是对规律的一种分析方法．规律是一个抽象的概念，规律往往隐藏在大量复杂的表象后面，它似乎离我们很近，但又很远．需要我们对大量同类问题全方位、多层次的分析比较，才能拨开迷雾，找出它们具有本质的属性．下面

7、我们就对数学最基本的对象：即元的认识开始来展开我们的研究．第一讲元的认识内容简介：代数一个主要内容是对数符、字符和运算符组合成的代数式进行研究，通过运算、恒等变形、转换形式及数理的逻辑推演，从而达到对客观世界的自然形态的认识和变化规律的认知，使人类改造世界的目标得以实现；初等数学中，代数的基本内容主要是对数的认识、式子的恒等变形的技巧训练、方程的求解、函数观点的确定、不等量的比较等；它对学者有一个最基本的要求就是要建立对“基元”的认识．下面举例说明：例1化简：解：令，∴，∴原式1．观察整个式子，主

8、要为、构成，故为此问题的元．2．把式子用基元x、y表示时，要注意a和1的表示：对称和次数的认识及分析．3．注意与常规的有理化解法比较．例2化简：解：令，，∴∴原式1．此式由、、构成，注意其相互的关系．·83·1．转化时注意分子、分母次数的统一．例3化简：解：令，，∴原式例4解方程：解：令，∴且∴a、b是的两根，故即有，检验满足原方程．1．式子在左边两项为共轭，是为基本结构．2．解法为构造方程求解．例5解方程组：解：令，∴∴原方程变为∴即（舍）∴1．确定元后，注意两元的关系，并用其表