一道课本复习题的教学纪.doc

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1、一道课本复习题的教学纪实徐志平（浙江金华一中321000）现行高中数学新教材第一册（上）第三章复习参考题三（B）组的最后一题是：某地现有居民住房的总面积为a，其中需要拆除的旧住房面积占了一半.当地有关部门决定在每年以10%的住房增长率建设新住房的情况下，拆除一定数量旧住房.（1）如果10年后该地区的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？（提示：计算时可取为2.6）（2）过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少（保留到小数点后第1位）？说明：原题中对到底是先拆后建，还是先建后拆似乎表述不清，为了不引起学生对题意产生歧义，本人对该题做了文字

2、调整。下面就是本人通过此题的教学，引导学生学习、运用数学思想方法的教学纪实。1．呈现问题情景先请同学们思考片刻，教师在教室里巡查，发现大部分同学的解法一致，于是选用一位书写比较规范的同学的解答，用投影仪在屏幕上显示出来：（1）过1年住房总面积为：过2年住房总面积为：过3年住房总面积为：……过10年住房总面积为：…由题意得：解得：（2）答：略.师：该解题过程是用什么数学思想方法来解的？一开始同学们对老师提出来的问题感到很突然，有许多同学在窃窃私语，我听到有的同学在说：“我就这样做的，但我从来没考虑过是用什么方法做的呀。”也有的同学书说：“是用列举法吧。”……由于心里没底，所以同学们都用

3、茫然的眼光看着我……师：做这道题的数学思想方法，特别要先写出然后才写出来，其中有什么规律可言吗？这时一位平时成绩一般，但胆子却很大的同学马上举手发言：老师，是根据的项数以及每项的结构规律总结出来的，比如有2项相加、有3项相加、有4项相加等。师：这位同学的回答很好！这是由已知推出未知的过程，是数学中的一种归纳猜想的思想，只不过是不完全归纳猜想。师：下面请同学们回忆在数列中有哪些地方已经体现过归纳猜想的数学思想？生1：已知数列的前若干项，求它的一个通项公式。生2：在等差、等比数列通项公式的推导过程中。生3：在研究性学习课题：数列在分期付款的应用中。师：同学们回答得都不错！该题就是用归纳猜

4、想思想方法来做的，也是对课本知识的延续。数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会现实生活中，具有深刻的现实意义。1．深入问题的背后师：同学们从刚才问题的实际应用背景中能否提取出数学本质问题？同学们异口同声地喊了起来：已知，求的通项公式，其中也有几位同学得出的表述方式是：教师首先还是对同学们的回答表示肯定，然后进一步补充完善，将此问题模型化：设过n年住房总面积为,则由题意知，,求的通项公式。也可以是：，，求的通项公式。这是根据题意写出数列的一阶递推公式，课本中有要求，比如根据等差、等比数列定义写递推关系

5、式，该题写递推关系式是课本知识的延伸。师：请同学们仔细地思考此问题的前一种模型，求的通项公式还有哪些其它方法？同学们一见是一道一阶递推公式求通项公式，马上投入了积极的思考……大约过了3分钟就有同学举手回答。生4：由，知，即为等比数列，从而有，因此把看成一项，由等比数列的通项公式知：，由已知，得即每年应拆除的旧住房总面积是。师：太好了！你是怎么想到把它构造成等比数列来解的？生4：我是用待定系数法来解的，即设，则，代回上式即可。师：同学们，数学家玻利亚说过：“在野外，你如果已经发现了一棵蘑菇，便可发现一群蘑菇。”接下来请同学们继续寻找“蘑菇”……同学们有了成功的体验，都受到了感染，于是纷

6、纷拿起笔，认真地思考其它解法。过了一会儿，生5站了起来。生5：老师，可以对进行循环叠代，由题意知，，得师：这位同学是用循环叠代法，思路清晰，但化简过程同学们要耐心、仔细。请同学们想一想，能否先将消去？受到启发，生6站了起来：老师，将记为①，将记为②，只要②-①得，再设，则，其中由此可知，数列为等比数列，因此根据叠加法（在推导等差数列通项公式时已经介绍过这种方法）可知，由题意知，得生6刚坐下，生7马上就站了起来发言：从前面的几种解法中得到启发，我认为也可以两边都除以得到由题意知，得师：太棒了！很有创意，这位同学实际上就是借鉴了生6的解题思想方法，只不过生6是经过换元后变为等比数列，而他

7、是经过换元变为特殊的一阶递推式，然后用叠加法来做的。接着我又进行“煽风点火”道：同学们仔细品味生6，生7两位同学的解法，原数列都是经过换元变成新数列后再利用叠加法求出，那么能否直接进行叠加求出的通项公式呢？同学们这时都用疑惑的眼光看着我，这时我请一位同学回答他心中的“苦衷”：若将原式变为后，前的系数不是1，这时用叠加法不能消去中间项。师：同学们，这位同学的问题也正是大家感到的迷茫吧？（大部分同学都点点头表示了赞同），那么有没有办法处理呢？下面师生共同来解决