高三 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题答案 - 副本.doc

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1、与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题参考答案典题探究例1．(1)解　法一　设M的坐标为(x，y)，由已知得

2、x＋2

3、＝－3.易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.化简得曲线C1的方程为y2＝20x.法二　由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.(2)证明　当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程

4、为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是＝3.整理得72k2＋18y0k＋y－9＝0.①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根，故k1＋k2＝－＝－.②由得k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以y1y2＝.④同理可得y3y4＝.⑤于是由②，④，⑤三式得y1y2y3y4＝＝＝＝6400.所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.例2．解　(1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由

5、题意得得14耐心细心责任心所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，(1)则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，所以线段AB的中点M.因为M在直线OP：y＝x上，所以＝.得m＝0(舍去)或k＝－.此时方程(1)为3x2－3mx＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)＞0，所以

6、AB

7、＝·

8、x1－x2

9、＝·.设点P到直线AB距离为d，

10、则d＝＝.设△ABP的面积为S，则S＝

11、AB

12、·d＝·.其中m∈(－2，0)∪(0,2)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－)(m－1＋)．所以当且仅当m＝1－，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－，S取到最大值．综上，所求直线l方程为3x＋2y＋2－2＝0.例3．解　(1)由e＝＝，＝2，解得a＝2，c＝，b2＝a2－c214耐心细心责任心＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2，得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，

13、y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.因为点M、N在椭圆x2＋2y2＝4上，所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，故x2＋2y2＝(x＋4x＋4x1x2)＋2(y＋4y＋4y1y2)＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20.所以P点是椭圆＋＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义

14、PF1

15、＋

16、PF2

17、为定值，又因c＝＝，因此两焦点的坐标为F1

18、(－，0)，F2(，0)．例4．[满分解答]　(1)由e＝＝＝，得a＝b，椭圆C：＋＝1，即x2＋3y2＝3b2，设P(x，y)为C上任意一点，则

19、PQ

20、＝＝，[来源:学

21、科

22、网Z

23、X

24、X

25、K]－b≤y≤b.若b＜1，则－b＞－1，当y＝－b时，

26、PQ

27、max＝＝3，又b＞0，得b＝1(舍去)，若b≥1，则－b≤－1，当y＝－1时，

28、PQ

29、max＝＝3，得b＝1.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(6分)(2)法一　假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤.由题意可得S△AOB＝

30、OA

31、·

32、OB

33、sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90

34、°时取等号，这时△AOB为等腰直角三角形，14耐心细心责任心此时圆心(0,0)到直线mx＋ny＝1的距离为，则＝，得m2＋n2＝2，又＋n2＝1，解得m2＝，n2＝，即存点M的坐标为，，，满足题意，且△AOB的最大面积为.(12分)法二　假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤，又设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由，消去y得(m2＋n2)x2－2mx＋1－n2＝0，①把n2＝1－代入①整理得(3＋2m2)x2－6mx＋m2＝0，则Δ＝8m2(3－m2)≥0，∴②