数学思维品质培养案例教学

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1、数学思维品质培养案例教学　　摘要：思维与数学学习关系密切，因此培养学生的数学思维能力是提高数学效益的关键。良好的数学思维平直有利于减轻当下中国中学生学习数学的负担，提高其学习数学的效率，因而具有重要的意义。本文就如何对数学思维品质的培养进行研究并结合课堂实践给出了案例分析。关键词：思维品质；深刻性；广阔性；创新性；批判性中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1674-9324（2014）04-0113-03数学教育的主要任务就在于使学生形成完善的思维结构，并借助于这种结构掌握数学知识，提高数学

2、能力。数学思维的教学功能也被越来越多的教师重视，新的数学教学大纲把数学思想方法纳入基础的知识范畴是落实数学素质教育的重大举措。在数学教学中向学生展示获取知识、技能及解决问题的思维品质之目的，创造了“客观”基础，提供了可能，才能使学生终身受益。本文试举几例说明，以供参考。一、挖掘数学表达式的内涵，发掘思维的深刻性8思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平以及思维活动的深度。它集中的表现为能透过表面现象和外部联系，深刻地理解概念，抓住概念定理的核心及内在联系，准确地掌握概的内涵及使用条件和范围。揭示问题

3、规律的一个由感性到理性的思维过程。从特殊到一般进行联想，是培养这一深刻的一个重要方面。例1.设x>0，y>0，z>0，求证：x2/y+y2/z+z2/x≥x+y+z（1），分析：易猜，当x=y=z时取等号，由均值不等式a+b≥2■可解决，注意到左边含有分母。证：因为■+y≥2■=2x■+z≥2y，z2/x+x≥2z所以z2/y+y2/z+z2/x≥x+y+z（当x=y=z时取等号）在证出后，可引导学生探索一般的规律，对多个正数是否也有（1）成立呢？引申1：设x1，x2…xn>0，求证：x12/x2+x2

4、2/x32+…+x2n-1/xn+xn2≥x1≥x1+x2+…+xn（2）事实上，按证（1）的方法以，同理可证（2），还可进一步思考：对（2）式我们发现左边各项的分线具有一种特殊的顺序。此时可问，分母不具备这种顺序是否也有同样的结论？引申2：设y1·y2…yn>0，x1·x2…xn>0且x1+x2+…+xn=y1+y2+…+yn求证：x12/y1+x22/y2+…+xn-12/yn-1+xn2/yn≥x1+x2+…+xn（3）8这样使问题层层深入，思维不断深化。数学思维的深刻性表现在：善于洞察数学对象的

5、本质属性与相互联系，能捕捉矛盾的特殊性，从研究材料中发现最有价值的因素。能迅速确定解题策略和各种方法，模式等。在教学中抓住以下几个过程：（1）对各种数学材料整理的概括过程。（2）对有关数学概念背景，内涵，外延认识的深化过程。（3）对具体数量关系与空间形式的抽象过程。（4）对基本数学观点与方法的总结过程。二、多角度思考、探索，培养思维的广阔性思维的广阔性是指思维活动作用的广泛和全面的程度，它集中表现为思路宽广，能从众多的知识领域和多方面的知识出发，全面的考察问题，作出广泛的联想，多角度、多层次、多方位的观

6、察与思考。在广泛的范围内寻求解法，是思路开阔而全面的思维品质。在数学学习中，应要求学生既把握数学问题的整体，抓住它的基本特征，又要求不忽略重要的细节和特殊的因素，放开思路进行思考，解决问题。例2.求证：■+■>89/9。分析：观察待证不等式的结构，抓住其形式特征。■+■>89/9。多向地进行联想，从不同的角度沟通，联系就得：联想1：不等式左边看成动点p（x，y）到两定点A（8，3）.B（2，-5）的距离之和.由

7、PA+PB

8、≥

9、AB

10、=■=10。8联想2：以动点到两点距离之和为线索，联想到椭圆的定义，视

11、长轴2a可变，即2a为参数。令■+■=2a（a>0）。此时2c=■=10且椭圆中2a>2c故结论成立。联想3：向量模的形式与题给不等式左边有相似性，故想到可用向量不等式证明，即令■=（x-8，y-3），■=（x-2，y+5）有

12、■

13、+

14、■

15、≥

16、■-■

17、=

18、（-6，-8）

19、=10联想4：由联想3易想到可用复数去证明。可令：z1=（x-8）+（y-3）i，z2=（x-2）+（y+5）i。则

20、z1

21、+

22、z2

23、≥

24、z1-z2

25、=

26、-6-8i

27、=10这几种联想证明既简洁，又具有独到之处，如果经常这样训练，对开阔学

28、生思路，活跃学生思维大有裨益。另在数学教学中，为了培养学生思维的广阔性，还可以建构观，形象的心智图像，使抽象问题具体化，隐性问题显性化。例3.已知△ABC中，角A.B.C的对边分别是a，b，c。且B=2C求证：b2=c（a+c）。这是我在教学过程中遇到的一道习题，利用解三角形的知识可以证明，接着利用直观，形象的心智图像。有如下解法：方法1（图1）：如果把b2=c（a+c）看成b/c=（a=c）/b，则会出现“相似三角形”的形象。方法2（图2