求异中培养思维品质案例.doc

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1、求异中培养思维品质案例浙江省长兴县长兴中学313100陈宇清一、同题异解，培养思维的广阔性例1：化简思路1，从“角”入手，“复角化单角”，利用升幂公式解法1，原式====思路2，从“名”入手，“异名化同名”解法2，原式===思路3，从“形”入手，采用“配方法”解法3，原式=思路4，从“幂”入手，利用“降幂公式”解法4，原式==本题从变角、变名、变形、降幂四个角度入手，分别采用了四种不同的方法解决了同一个问题，沟通了知识之间的联系，拓宽了学生的解题视野，有利于发展学生思维的广阔性。二、剖错析正，培养思维的批判性例2求函数的最小值错解1，=，所以，错因：y=16的充要条件是上式中的两处等号同时取

2、到，即且错解2，，所以，错因：，正解1，，当且仅当所以；正解2，，当且仅当时上式成立，此时，且y=18，所以。在学生的模糊处，难懂处，易错处借助错解与正解的对比教育，揭示问题本质，透析错解原因，刺激学生消除肤浅，狭隘的思维定势，增强思维的批判性。三、同类变式，培养思维的深刻性例3、若关于x的不等式的解集是R，求实数a的取值范围。解：当a=1时，原不等式同解于2x+1>0，同已知矛盾。当a=-1时，原不等式同解于1>0，恒成立。当时，只需即综上得实数a的取值范围是这题是一个不等式的问题，要深刻理解必须弄清二次方程，二次函数，二次不等式的联系，固而提出以下变式。变式1：，若x∈R时，f(x)的值

3、恒负，求实数a的取值范围。分析：函数f(x)的值恒负函数f(x)的图象全在x轴的下方变式2：，问（1）若函数y=lg[f(x)]的定义域为R,求实数a的取值范围。（2）若函数y=lg[f(x)]的值域为R,求实数a的取值范围。分析：问题（1）x∈R时，f(x)＞0恒成立例3问题（2）x∈R时，f(x)能取到一切正值a=1或且变式3：关于x的方程f(x)=的一个根小于1，另一个根大于1，求实数a的取值范围。分析：设方程f(x)=0的两根则函数f(x)与x轴有两个交点，他们分别处在点（0，1）的两侧或变式4：关于x的方程f(x)=在区间（1，2）内有且仅有一个实根，求实数a的取值范围。分析：要解

4、决这个问题，分三步第一步是列出方程f(x)=0的根的情况，第二步是将方程的根的情况转化为函数f(x)的图象，第三步是由图象列出不等式（组），因而得到以下三类：（1）方程f(x)=0有唯一的解当a=-1时，方程f(x)=0无解当a=1时，方程f(x)=0的跟不合题意（2）方程f(x)=0有两等根（3）方程f(x)=0有两个不相等的实根f(1)f(2)＜0或或通过以上的变形和引申，有利于学生深刻理解方程的跟,函数的图象和不等式（组）的解三者的联系，从而增强思维的深刻性。四、似题异解，培养思维的敏捷性例4、（1）设函数y=f(x)的定义域为R，则两函数y=f(2-x)与y=f(x-4)的图象关于直

5、线对称。（2）已知函数y=f(x)对于任意x∈R，均有f(2-x)=f(x-4)，那么函数y=f(x)的图象关于直线对称。分析：这两题表面上很相似，若单独出现在学生面前，很易解错，若进行对比分析，找出差距，给出一般解法，则较能接受，而且在再现时能迅速作出判断。思路：要解决这两题，首先必须明确区别处：第一个问题中给出的是两个函数图象的对称问题，第二个问题中给出的是一个函数图象的对称，其次要掌握函数图象的三种变换及中点公式。解：（1）先将y=f(2-x)的图象关于y轴对称得到函数y=f(2+x)的图象，再将所得图象向右平移6个单位，即得函数y=f(x-4)的图象，由此可知y=f(2-x)和y=f

6、(x-4)的图象关于直线x=3对称。（2）∵点（2-x，y）和（x-4，y）的中点在函数y=f(x)的对称轴上，而中点坐标是（-1，y）,故对称直线x=-1。五、探索比较，培养思维的灵活性灵活性指能随机应变，触类旁通，不局限于某一方面，不受消极定势的影响，在解题时，通过变换解法，变式引申，变化条件等手段探索比较，让学生在探索中及时调整思维方向，克服呆板性，从而提高思维的灵活性。例5、已知求x+y的最值解法一：解法二：设x+y=m，则问题转化为求m的最值由于直线x+y-m=0必同圆有交点所以对一个已知问题的多角度思考，拓宽了思维领域，提高了解题的灵活性，若对问题趁势转变情景，进一步探索比较，则

7、能克服呆板，激发活力。探索1，已知若不论x,y取何实数均有x+y-k≥0，求实数k的取值范围。分析：比较上题，不难发现，要使x+y-k≥0即k≤x+y,只需k≤（x+y）min，因而问题即同上问题。探索2，实数x≥1,y≥1以及试求当a∈范围内变化时，的取值范围。分析：若则原问题转化为当m≥0，n≥0,且m2+n2=2m+2n+2时，求m+n的取值范围。比较例5，有联系又有区别，进一步探索解法。解：设∵a>1