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1、1.（本题满分14分）已知函数，且其导函数的图像过原点.(1)当时，求函数的图像在处的切线方程;(2)若存在，使得，求的最大值；(3)当时，求函数的零点个数。解:,由得,.---------------------2分(1)当时,,，,所以函数的图像在处的切线方程为,即------------4分(2)存在,使得,，，当且仅当时，所以的最大值为.-------------9分f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增(3)当时，的变化情况如下表：--11分的极大值，的极小值又，.所以函数在区间内各
2、有一个零点，故函数共有三个零点。--------------------14分注：①证明的极小值也可这样进行:设，则当时,,当时,,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,故函数在区间上的最大值为,从而的极小值.②证明函数共有三个零点。也可这样进行:的极大值，的极小值,当无限减小时，无限趋于当无限增大时，无限趋于故函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点。2、（本小题满分14分）已知函数在处取得极值.⑴求的解析式；⑵设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问：是否存在
3、这样的点,使得曲线在点处的切线与平行？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由；⑶设函数,若对于任意,总存在,使得,求实数的取值范围.解：⑴∵,∴.又在处取得极值.∴,即,解得,,经检验满足题意,∴.………（4分）⑵由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,又.则由,得,∴,∵,∴,得.故存在满足条件的点,此时点的坐标为或.…………（8分）⑶解法：,令,得或.当变化时,、的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴在处取得极小值,在处取得极大值.又时,,∴的最小值为.∵对于任意的,总存在,使
4、得,∴当时,最小值不大于.又.∴当时,的最小值为,由,得；当时,最小值为,由,得；当时,的最小值为.由,即,解得或.又,∴此时不存在.综上,的取值范围是.…………(14分)解法：同解法得的最小值为.∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.设,则得,或,得或.∴或时,在上有解,故的取值范围是.解法：同解法得的最小值为.∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.令,则,∴.∴当时,；当时,得,不成立,∴不存在；当时,.令,∵时,,∴在上为减函数,∴,∴.综上,的取值范围是.3、
5、（本小题满分14分）已知函数是函数的极值点.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求实数满足的条件；（3）直线是函数与函数的图象在处的公切线，若，求的取值范围.（本小题满分14分）解：（1）,．……1分由已知得，解得a=1．……2分．当时，，当时，．……3分当时，的递增区间为，递减区间为．……4分（2）由（1）知，当时，单调递减，当，单调递增，.……6分要使函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个不同的交点.①当时，m=0或；……7分②当b=0时，；……8分③当.……9分（3）时，，
6、两式相除得，整理得…12分令则在递减仅在取等号，在递减……14分4、（本小题14分）已知函数在上是增函数,在(0,1)上是减函数.（I）求、的表达式；（II）求证:当时,方程有唯一解；(III）当时,若当∈时恒成立,求的取值范围.解:（I）依题意,即,.∵上式恒成立,∴①……………1分又,依题意,即,.∵上式恒成立,∴②…………2分由①②得.……………3分∴…………………………4分（II）由(1)可知,方程,设,令,并由得解知……………5分令由……………6分列表分析:(0,1)1(1,+¥)-0+递
7、减0递增知在处有一个最小值0,……………7分当时,＞0,∴在(0,+¥)上只有一个解.即当x＞0时,方程有唯一解.………8分（III）设,……………9分在为减函数又……11分所以：为所求范围.……………………121、．（本小题满分14分）已知圆:交轴于、两点,曲线是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为,若是圆上一点,连结,过原点作直线的垂线交直线于点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)若点的坐标为求证:直线与圆相切；(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关
8、系?若是,请证明；若不是,请说明理由.解:(Ⅰ)因为,所以c=1,则b=1,所以椭圆C的标准方程为………5分(Ⅱ)∵P(1,1),∴,∴,∴直线OQ的方程为y=-2x,∴点Q(-2,4)…7分∴,又,∴,即OP⊥PQ,故直线PQ与圆O相切……10分(Ⅲ)当点P在圆O上运动时,直线PQ与圆O保持相切………11分证明:设(),则,所以,,所以直线OQ的方程为所以点Q(-2,)………12分所以,又……13分所以,即OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆O相切.………14分2、（本小
