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1、2008解析几何复习建议一.新高考中的解几题2007广东文19．在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点，椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2007山东文22．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．二.复习建议---------加
2、强解几问题中转化的等价性分析将问题中的几何条件代数化是处理解析几何问题的基本思路.这种转化应是等价的,但在实际教学中转化的等价性并没有得到应有的重视,从以下的讨论中可以发现：加强等价性分析，可以极大地提高解析几何学习的效率，促进学生思维能力的发展.1.等价性分析可以避免思维的盲目性在解决问题的过程中,有不少同学能根据条件写出很多等式,但却无法找到解题思路.不注意对条件转化(代数化)的等价性进行分析是造成这种局面的主要原因.问题1:设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上除原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程并,说明它表示什么曲线.在解决这一问题时,有很多
3、同学一会设出A,B两点的坐标,找出其关系;一会儿设出直线AB的方程,由方程组找关系,似乎有很多条件可以用,但又求不出轨迹方程.以下的情况极其常见:设A,B,M(x,y)则由OA⊥OB知,从而.由OM⊥AB知.至此，解题中断.实际上,上述转化并不充分.点M在直线AB上或A,M,B三点共线便没有体现出来.再由∥得:即将,代入上式即可得轨迹方程.同样,如用直线的斜率为参数,只要将条件充分必要地转化(等价转化),便可以建立参数方程.如既用坐标参数,又用斜率参数,只要将条件等价的体现出来(转化),也可以求出轨迹方程.教学中,应引导学生在解题过程中注意对转化的等价性进行分析,以避免解题的盲目性.
4、2.等价性分析是探索解题途径的有效策略对转化的等价性进行分析不仅可以降低思维的盲目性,还是探索解题途径的有效策略.因为解析几何的解题思路探索过程,实际上主要是将各种几何条件代数化的过程.有没有充分地将条件转化,还需不需要作进一步的转化,其衡量的标准即是代数化的结果是否与已知几何条件等价.问题2.过点和点,并且与轴相切的圆有且仅有一个，求的值及此时圆的方程.分析与解:在设出圆的方程为后,容易得到下列关系:至此,很多学生便无法向前推进.但分析转化的等价性便可以发现:方程组并没有将条件“与轴相切的圆有且仅有一个”体现出来.于是,将这一条件代数化便是解决问题的突破口.“与轴相切的圆有且仅有一
5、个”可转化为上述关于的方程组有且仅有一组解.于是便可归结为关于的一元二次方程的解的讨论.由上述方程组得：这样便可求得：或3.结合几类典型问题强化等价性分析3.1对称问题中的等价性问题4.如果椭圆的方程为，且椭圆C上存在两点A，B关于直线对称，求取值范围.这类典型对称问题的常规解法有多种,这里选看其中的一种.略解:设,AB的中点为M(x0,y0),那么,容易推得：∵M(x0,y0)在椭圆内部∴∴这一解法的教学,一般是采用分析的方法,即如果存在两点A，B关于直线对称,则应有点M(x0,y0)在椭圆内部,从而有.这里实际上并没有指明当时,可以确保对称点的存在.或者说只是阐明了存在的必要条件
6、并未论述其充分性.其他解法也存在着类似的问题.对于这些解法,学生并未真正理解与接受!有很多学生甚至无法照搬这种方法解决同类问题,也有不少同学对这种解法的可靠性产生怀疑,竟由直线与椭圆方程联立解出交点坐标,再由椭圆上点坐标的范围建立起一个极其复杂的不等式组,试图通过解此不等式组求出b的范围.这也反映了学生对这种解法的极度不信任.在这种情况下,他们最多只能是机械地套用这种方法处理问题.无论是从思维缜密性的训练,还是从解题思想方法(等价转化)的学习,或是从解题过程的严谨性来说,都应讨论存在条件的充分性.即应再证明:当时,椭圆上可找到两个点关于直线对称:当时，∴点在椭圆C内部∴直线即与椭圆C
7、相交记，由得=∵点在直线上,直线与直线垂直.由此可知直线与椭圆C的两个交点关于直线对称3.2方程组与方程中的等价性问题6.已知两条曲线:椭圆和圆,问(>0)为何值时,两条曲线没有公共点?分析与解:学生的一般的解法是由方程组得(1)没有公共点∴△=4-4(-)(10-)<0解得:两条曲线没有公共点,其代数表示即方程组无实数解.但这里,当时,同样没有公共点.这里的问题并非出在开始的代数转化上,而是后来的代数处理上.实际上,只能保证方程(1)无实根,而方程组无解
