2011高考数学总复习 15.1 复数的概念与运算夯实基础 大纲人教版.doc

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1、15.1复数的概念与运算巩固·夯实基础一、自主梳理1.i叫虚数单位,满足(1)i2=-1;(2)实数可以与i进行四则运算,原有的加、乘运算律仍然成立,它具有周期性,表现为i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈Z).2.形如a+bi(a、b∈R)叫复数,a叫实部,b叫虚部,当b=0时,a+bi(a、b∈R)是实数;当b≠0时,a+bi是虚数;当a=0,b≠0时,a+bi(a、b∈R)是纯虚数.3.复数可以用向量表示.用点Z(a,b)表示复数z=a+bi(a、b∈R),复数与复平面上的点一一对应,这是复数的几何意义.4.a、b、c、d∈R时

2、,a+bi=c+dia=c且b=d,两个虚数不能比较大小.5.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,用表示,当z∈Rz=;当z≠0时,z为纯虚数z+=0;对于任意复数z均有z+∈R,

3、z

4、2=

5、

6、2=z·.利用这些结论,往往可以使问题得到简洁明快的解决.6.z=a+bi(a、b∈R),则

7、z

8、=叫复数的模.它的几何意义是复数z对应的点到原点的距离.二、点击双基1.(北京春季高考)i-2的共轭复数是()A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i解析:由共轭复数的定义知选D.答案:D2.(全国高考卷Ⅰ)复数等于()A.iB.-iC.2-iD

9、.-2+i解析:原式==i.答案:A3.(天津高考,理)若复数(a∈R)是纯虚数,则实数a的值为（）A.-2B.4C.-6D.6解析:==(a+6)+(3-2a)i.∵是纯虚数,4∴∴a=-6.答案:C4.在复平面内,z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i所对应的点在实轴负半轴上,则实数m的取值为___________________.解析:由题意知z∈R且z<0,∴∴m=1.答案:15.下列命题中:①任意两个确定的复数都不能比较大小；②若｜z｜≤1，则-1≤z≤1；③若z12+z22=0,则z1=z2=0；④z+=0z为纯虚数；⑤z=z∈R.其中正确的命题是_

10、________________________.解析:①中的两个实数可比较大小，②中的z可为虚数，③中的z1=i,z2=1,④中的z=0.答案:⑤诱思·实例点拨【例1】设关于x的方程是x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0.(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;(2)证明对任意θ≠kπ+(k∈Z),方程无纯虚数根.剖析:(1)对于复数方程存在实根的问题,一般可先设出实根,然后再利用复数相等的条件求解.(2)直接证明有困难时,可用反证法.(1)解:设实数根为α,则α2-(tanθ+i)α-2(2+i)=0,即α2-tanθ·α-2-(α+1)i=0.∴又θ∈(0

11、,),∴θ=,α=-1.(2)证明:若方程有纯虚数根βi(β∈R,β≠0),则(βi)2-(tanθ+i)·(βi)-(2+i)=0.∴此方程组无解,4∴原方程没有纯虚数根.讲评:对于虚系数一元二次方程,不可用判别式Δ来判断方程根的实虚,而应该用复数相等的条件转化为实数方程进行讨论.【例2】设复数ｚ=lｇ(ｍ2-2ｍ-2)+(ｍ2+3ｍ+2)ｉ，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限?剖析:利用复数的有关概念易求得.解:(1)由得ｍ=3.(2)由ｍ2+3ｍ+2=0,得ｍ=-1或ｍ=-2．(3)由得-1＜ｍ＜1-或1

12、+＜ｍ＜3.讲评:对复数的分类条件要注意其充要性,对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样．链接·聚焦若复数z对应的向量，逆时针旋转90°是纯虚数，求实数m的值.提示:设复数z对应的点为Z1(lg(m2-2m-2),m2+3m+2)，向量逆时针旋转90°对应的点为Z2,易知Z2(-(m2+3m+2),lg(m2-2m-2)).由题意得解得m=-2.【例3】设z∈C,求满足z+∈R且

13、z-2

14、=2的复数z.剖析:设z=a+bi(a、b∈R),代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程.解法一:设z=a+bi,则z+=a+bi+=a+bi+=a++(b-)

15、i∈R.∴b=.∴b=0或a2+b2=1.当b=0时，z=a,∴

16、a-2

17、=2.∴a=0或4.a=0不合题意舍去，∴z=4.当b≠0时，a2+b2=1.又∵

18、z-2

19、=2,∴(a-2)2+b2=4.4解得a=,b=±,∴z=±i.综上，z=4或z=±i.解法二:∵z+∈R,∴z+=+.∴(z-)-=0,(z-)·=0.∴z=或

20、z

21、=1,下同解法一.讲评:解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究；解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化.这些都是解决复数问题的常用方法.链接·提示试探究z∈C,z+是实数的充要条件.提示:z+是实数的充要条件是

22、z