2011高考数学总复习 5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积夯实基础 大纲人教版.doc

《2011高考数学总复习 5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积夯实基础 大纲人教版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、5.1向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积巩固·夯实基础一、自主梳理1.平面向量的有关概念(1)向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.(2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,…或用,,…表示.(3)模:向量的长度叫向量的模,记作

2、a

3、或

4、

5、.(4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向不确定.(5)单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.(6)共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任

6、何向量共线.(7)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.(2)法则:三角形法则、平行四边形法则.(3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).3.向量的减法(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法.(2)法则:三角形法则、平行四边形法则.4.实数与向量的积(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,规定:

7、λa

8、=

9、λ

10、

11、a

12、.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当

13、λ=0时,λa与a平行.(2)运算律:λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.5.两个重要定理(1)向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得b=λa,即b∥ab=λa(a≠0).(2)平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且仅有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.二、点击双基1.(天津高考,理)若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且

14、b

15、=3,则b等于()A

16、.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)解析：易知a与b方向相反,可设b=(λ,-2λ)(λ＜0＝.又

17、b

18、=3=,解之得λ=-3或λ=3(舍去).∴b=(-3,6).答案：A2.(理)(浙江高考,文)已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα等于()A.B.-C.D.-解析：由a∥b,∴3cosα=4sinα.∴tanα=.4答案：A(文)下列算式中不正确的是()A.++=0B.-=C.0·=0D.λ(ωa)=(λω)a解析：-=,故B错误.答案：B3.

19、(全国高考卷Ⅰ，文)点O是△ABC所在平面内的一点,满足·=··,则点O是△ABC的()A.三个内角的平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点解析：由·=·,可得·=0，即⊥.同理可得⊥,⊥.答案：D4.(2010江苏南通九校联考)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ(+)，λ∈［0，+∞］，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．垂心C．内心D．重心解析：由=+λ(+),∴-=λ(+),λ∈［0,+∞］,∴=λ(+).∴P在BC边中线上

20、.故P的轨迹通过△ABC的重心.故选择D.答案：D5.△ABC中，=3，则=_______________.(用和表示)解析：∵=-,又=3，∴=+=+(-)=+.答案：+诱思·实例点拨【例1】已知向量a、b满足

21、a

22、=1,

23、b

24、=2,

25、a-b

26、=2,则

27、a+b

28、等于()A.1B.C.D.剖析：欲求

29、a+b

30、,一是设出a、b的坐标求,二是直接根据向量模计算.解法一：设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则x12+y12=1,x22+y22=4,a-b=(x1-x2,y1-y2),∴(x1-x2)2+(y

31、1-y2)2=4.∴x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=4.4∴1-2x1x2-2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1.∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.∴

32、a+b

33、=.解法二：∵

34、a+b

35、2+

36、a-b

37、2=2(

38、a

39、2+

40、b

41、2),∴

42、a+b

43、2=2(

44、a

45、2+

46、b

47、2)-

48、a-b

49、2=2(1+4)-22=6.∴

50、a+b

51、=.故选D.答案：D链接·提示本题还可以利用向量的加、减运算的几何意义计算.设=a，=b，则-=.在△OAB中，

52、cos∠AOB==,∴cos∠OAC=-.在△OAC中，

53、

54、2=

55、

56、2+

57、

58、2-2

59、

60、·

61、

62、cos∠OAC=12+22-2×1×2×(-)=6.∴

63、

64、=，即

65、a+b

66、=.【例2】如图，G是△ABC的重心，求证：++=0.剖析：要证++=0，只需证+=-，即只需证+与互为相反的向量.证明：以向量、为邻边作平行四边形GBEC，则+==2.又由G为△ABC的重心知=2，从而=-2.∴++=-2+2=0.4讲评：向量的加