高一数学向量、向量的加法与减法，实数与向量的积人教版知识精讲

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1、高一数学向量、向量的加法与减法，实数与向量的积人教版【本讲教育信息】一.教学内容：向量、向量的加法与减法，实数与向量的积二.本周教学重、难点：1.重点：向量、相等向量的概念，向量的几何表示，向量加、减法，实数与向量积的定义，运算律，共线向量的充要条件，平面向量基本定理。2.难点：向量的概念，对向量加、减法定义的理解，对共线向量，平面向量基本定理的理解。【典型例题】[例1]判断下列各命题是否正确（1）若则（2）若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD是平行四边形的充要条件。（3）若，则（4）两向量、相

2、等的充要条件是（5）是的必要不充分条件（6）的充要条件是A与C重合，B与D重合解：（1）不正确（2）正确（3）正确（4）不正确（5）正确（6）不正确[例2]设在平面上给定了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：。证明：在中∵K、L分别是AB、BC的中点∴KL∥AC且∴与同向，且同理可证：与同向且∴与同向，且∴[例3]如图，在中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式。（1）（2）（3）解：（1）（2）或原式（3）[例4]已知O是ABCD的对角线A

3、C与BD的交点，若，，，证明：。证明：在ABCD中，，则∴[例5]设、是两个不共线的非零向量，若向量，，，试证：A、C、D三点共线。证明：∵又∴∴∵直线AC、CD有公共点C∴A、C、D三点共线[例6]已知非零向量和不共线。（1）如果，，，求证：A、B、D三点共线。（2）要使和共线，试确定实数的值。（1）证明：∵，∴、共线，且有公共点B∴A、B、D三点共线（2）解：∵与共线∴存在使∴由于与不共线只能有∴[例7]选定，为基底，设点P为、所在平面上一点，则（，）。（1）当P点在直线AB上运动时，对应的、具有怎样的特

4、点？（2）当P点与点O在直线AB的异侧，对应的，具有怎样的特点？（3）当P点与点O在直线AB的同侧，对应的，具有怎样的特点？请将你的结论证明出来。（1）证明：设∵∴令，∴（2）证明：设，则∴令，∴（3）证明：设，则∴令，∴[例8]设、、为非零向量，其中任意两向量不共线，已知与共线，且与共线，试问与是否共线？证明你的结论。解：与共线∵与共线∴存在唯一实数，使得①∵与共线∴存在唯一实数，使得②由①—②得∴即又∵与不共线∴，∴，∴有即∴∴与共线【模拟试题】（答题时间：75分钟）一.选择：1.下列说法中错误的是（）A

5、.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的2.汽车以100km/h的速度向东走了2h，摩托车以40km/h的速度向南走了2h，则下列命题中正确的是（）A.汽车的速度大于摩托车的速度B.汽车的位移大于摩托车的位移C.汽车走的路程大于摩托车走的路程D.以上都不对3.下列各等式或不等式中，一定不能成立的个数是（）①②③④A.0B.1C.2D.34.若O是内一点，，则是的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心5.下列等式中，正确的个数是（）①②③④⑤A.5B.4C.3D.2

6、6.若O为ABCD的中心，，，则等于（）A.B.C.D.7.已知、不共线，实数、满足，则的值等于（）A.3B.C.0D.28.若、是不共线的两个向量，且，（、）则A、B、C三点共线的充要条件为（）A.B.C.D.9.D、E、F分别为的边上BC、CA、AB上的中点，且，，给出下列命题：①②③④其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.410.在四边形ABCD中，，，，其中、不共线，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形二.填空：1.，，则的最大值和最小值分别是2.若且与不共线，则与方向的关

7、系为3.若，且，则四边形ABCD是4.，，，则写为的形式为三.解答题：1.已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，，求证：四边形ABCD是平行四边形。2.如图，P、Q是的边BC上两点且BP=QC，求证：。3.若其中、、为已知向量，求未知向量4.设、不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且（），求证：A、B、P三点共线。5.试证：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三边的一半。【试题答案】一.1.A2.C3.A4.D5.B6.B7.A8.D9.D10.C二.1.20、42.互相垂直3.等腰梯形4

8、.三.1.证明：，又∵，∴∴且AB=DC∴四边形ABCD为平行四边形2.证明：①②①+②：∵和大小相等，方向相反∴∴3.解：原式∴4.证明：∵∴∴又，∴∴又直线AP、PB有公共点A∴A、B、P三点共线5.证明：如图，设M、N分别是两边AB、AC上的中点∴，∵，∴∴∴且