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时间:2021-05-12
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1、高一数学向量、向量的加法与减法人教版【同步教育信息】一.本周教学内容:向量、向量的加法与减法二.重点、难点:1.向量的概念。2.向量的加法与减法的定义。3.会用加法与减法的平行四边形法则和三角形法则作出向量的和与差。【典型例题】[例1]以下命题中真命题的个数是()(1)aa0(2)0a0(3)0aa(4)向量a与向量b平行,则a、b的方向相同或相反。A.0B.1C.2D.3解:(1)假命题。因为两向量之差仍为向量,所以应aa0。(2)假命题。因为实数与向量的积是向量,所以应有0a0。(3)真命题。0a0(a)a。(4)假命题。
2、若a与b中有一个为0,则它的方向不确定。综上,应选择B。[例2]下列命题中假命题的个数是()(1)向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点共线。(2)四边形ABCD是平行四边形的充要条件是ABDC。(3)四边形ABCD中,ABCDBCDA。(4)若两非零向量,a与b的方向相同或相反,则ab的方向必与a或b的方向相同。A.1B.2C.3D.4解:(1)是假命题。共线向量是指平行向量,故AB与CD平行不一定A、B、C、D四点共线。(2)真命题。(3)假命题,由ABCD为四边形,则有ABBCCDDA0,故ABCD(BCDA)。(
3、4)假命题。当ab0时,ab的方向不确定。综上,应选择C。[例3]已知正方形ABCD的边长等于1,ABa,BCb,ACc,求作向量abc和向量abc以及abc。用心爱心专心EDCbAaB图1解:如图1,由于abABBCAC又由cAC,延长AC至点E,使得CE=AC,则abcAE又如图2,abABBCABADDBDCFca-bbcAaB图2过点B作BFAC,即BFc,故(ab)cDBBFDF如图3,作DGAC,即DGc。GcDCbca-bAaB图3而DBABADab,则(ab)cDBDGGB[例4]设P是ABC的重心,试证明:PA
4、PBPC0。ANGPBMC证明:如图设M、N、P分别是ABC边BC、AC、AB的中点,由AMABBM,AMACCM用心爱心专心则有2AMABAC(BMCM)又由M是BC中点,故BMCM0,即AM1(ABAC)11(CA2同理可得BN(BCBA),CGCB)21[(AB2故AMBNCGAC)(BCBA)(CACB)]02又由点P是ABC的重心则AP2AM,BP2BN,CP2CG333故APBPCP2(AMBNCG)3又由AMBNCG0,则APBPCP0故PAPBPC0[例5]试比较下列向量模的大小(1)(2)解:
5、ab
6、与
7、a
8、
9、
10、b
11、;
12、ab
13、与
14、ab
15、。(1)分情况讨论①当a、b中至少有一个为0时,
16、ab
17、=
18、a
19、
20、b
21、;②当a、b均为非零向量时,若a与b同向,则
22、ab
23、=
24、a
25、
26、b
27、若a与b异向,则
28、ab
29、<
30、a
31、
32、b
33、若a与b不共线,则
34、ab
35、<
36、a
37、
38、b
39、(2)①当a与b中至少有一个为0时,则
40、ab
41、
42、ab
43、②当a与b均为非零向量时,根据向量加减法的平行四边形法则可知,
44、ab
45、与
46、ab
47、是以
48、a
49、、
50、b
51、为边的平行四边形的两条对角线的长,如图分三种情况讨论,设a与b的夹角为。DCDCDCa+ba+ba+bbba-ba-bBa-bABAaaAB图
52、1图2图3若090,如图1,则有
53、ab
54、
55、ab
56、若90,如图2,则有
57、ab
58、
59、ab
60、若90180,如图3,则有
61、ab
62、
63、ab
64、[例6]设点G为四边形ABCD对角线的中点连线MN的中点,点P为该平面内任意一点,证明4PGPAPBPCPD。用心爱心专心DCMGNABP证明:如图所示,设四边形ABCD的对角线AC、BD中点分别为M、N由PM为APC的中线,故PM1PC)(PA21(PB同理可知PNPD)21(PMPN)又由G为MN中点,则有PG1(PA2PBPCPD)4即4PGPAPBPCPD特别地,当P与G重合时可以得到GAGBGC
65、GD0【模拟试题】一.选择题:1.下列命题中正确的个数为()(1)若向量a与b共线,b与c共线,则向量a与c共线(2)共线的单位向量都相等
66、b
67、3
68、a
69、,则向量ab与a的方向相同()向量a与b反向,(4)向量a与b不共线,则a、b均为非零向量A.1个B.2个C.3个D.4个2.平行四边形ABCD中,BCCDAD等于()A.BDB.ABC.ACD.BA3.非零向量a、b不共线,且
70、a
71、
72、b
73、,则向量a+b与a-b的关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等4.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P,若PAPBPCAB
74、,则点P与ABC的位置关系是()A.P在ABC内部B.P在ABC外部C.P在AB边上或它的延长线上D.P在AC边上且为AC的一个三等分点二.填空题用心爱心专心5.已知AD、BE分别是ABC的边BC、AC上的中线,且ADa,BEb,则BC。6.点P为四边形ABCD
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