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1、高一数学实数与向量的积人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：实数与向量的积二.重点、难点：1.实数与向量的积的定义和运算律2.向量共线的充要条件3.平面向量的基本定理【典型例孚】______［例1］设石、石是两个不共线的向量，已知：乔=2石+K云，而二石+3石，CD=2^-^,若A、B、D三点共线，求实数K的值。解：BD—CD—CB—（2©—®）—（q+3匕）=弓—4匕由三点A、B、D三点共线等价于向量乔与丽共线，由向量共线的充要条件知,存在实数久，使得AB^ABD,即2石+K石=2（才_4石）=岚_42石由平面向量的基本定理，则有彳
2、°解得久二-8［K=-4A［例2］证明向量鬲、0B.况的终点A、B、C共线的充要条件是OC=XOA+^OB,其中实数久、“满足2+“=1。证明：先证必要性，如图若A、B、C三点共线，则与AC共线，由向量共线的充要条件知：存在实数f,使得疋二/乔。即况-刃二t（0B-OA）OC=（1-t）OA+tOB令1—f=a,p=t,则有OC=MA+jLiOBf且久+“二1再证充分性，由况=久鬲+“亦，且久+“二1,则OC=（l-jU）OA^juOB故有0C-0A=ili（0B-~0A）注：上述结论可推广为以下一段形式，对于弘工0,向量;1方+“亍与
3、;1方一〃亍共线的充要条件是：与方共线。事实上，若：与庁至少有一个为6吋，命题显然成立，下面对：与忌均不为6吋加以证明。充分性，由allb.则存在唯一twR,使a=tb.故/ia+“&=（久/+〃）乙Act-/jb=（At-若加一“=0,则加一=6,故A,a+“乙与A,a-fib共线若加一〃H0,贝ij加+血=——土土(加一“庁)刀一“故2°+“乙与加一pb共线必要性，当2：—“&=6时，由勿H0,则a=^-b,即allbA当加-时,则存在唯一虫R,使加+“&=/(加-“乙)A(l-r)«=-/z(l+z)^rticHO,乙北6,故zh
4、±1,则a=^^-b故：席2(—1)A17CF1［例4］如图，0是平行四边形ABCD中心，E.F分别在边AB、CD上，且——EBFD2用向量方法证明E、0、F三点共线。证明：设ci=ABb=BC1屁亦忌押+押冷而+环+押—乔押1〜1A=——a——b62—*'—*1■1'1—*■1—*1—*1■OF=OC+CF=-AC+-CD=-(AB^BC)—一AB=-AB+-BC2323621_1f=-a+-b62故OE二-OF即OE与OF共线空二丄，B"与CM相交于P,设~AB=a,AC=b,AC4［例5］如图，在ABC中,试用a、b表示AP。解
5、：由己知~AM=-~AB=-a33屈=丄AC=-b44rhM>P、C三点共线，则存在唯一teR,使MP=M1C则AP=(1—/)AM+/AC于是乔=~AM^~MP=-~AB^tMC3设NP=sNB1**-a^t(AC-AM)1-*f】—1tff—a+t(b——a)=()a+th3333同理AP=(1-5)AN+5ABAP=AN^NP=-AC^-sNB=(---)h^sa444fff[ff"*故有寸評+"(厂評由。与方不共线，故解得：2_11■3—2—11所以AP=—a^—h311117T1t=s331st=44［例6］已知点P为AAB
6、C内一点，I13AP+4BP+5CP=0,设AB=a,AC=ho(1)(2)用a、忌表示AP延长AP交BC于D,用：、亍表示乔B解：(1)由已知3AP+4BP+5CP=0又由BP=AP-ABCP=AP-AC则3AP+4(乔-AB)+5(乔-AC)=O即3AP+4(AP-a)+5(AP-b)=0—1_5-AP=-a^—b31212AP=4a+5b设聖=s,BCAD=AB+BD=a+S(b—a)=(l—S)a+Sb.——*tf5/■*设AD=tAP则AD=—a+——b312则BD=SBC=S(b-a)tf'tfifff由于「+于…SESb,
7、又由。与b不共线则-=1-S35/c——=0〔12_44+53■5—5—='AD=(--)a^-b12c599I915一5_4一5f即AD—(1—)dH—b——a—h9999［例7］如图AABC的重心为G,0为始点，设OA=a.OB=h.OC=c,试用：、h.c表示OGo—*1—*'解：由D为BC中点，则OD=-(OB^OC)又由G为AABC重心，则AG=2GD,而花=元一刃，GD=OD-OG即荒-0A=2(0D-0G)3OG=OA^2dD=OA^OB^OCI•I——♦fOG=§(d+b+c)【模拟试题】一.选择题：1.如果£、云是平
8、面Q内所有向量的一组基底，那么以下命题中正确的是（）A.B.C.D.若实数久、“满足+jue2=6,则久=“=0对平面a内的任一向量方，使云+〃云的实数2、“有无数对对实数久、“向量亦+总不一定在平面a内空
