高一数学 实数与向量的积教案

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1、湖南师范大学附属中学高一数学教案：实数与向量的积教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1．引入新课：已知非零向量作出++和(-)+(-)+(-)讨论：1°3与方向相同且

2、3

3、=3

4、

5、2°-3与方向相反且

6、-3

7、=3

8、

9、2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量的积，记作：λ定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ1°

10、λ

11、=

12、λ

13、

14、

15、2°λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=3．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ②

16、第二分配律：λ(+)=λ+λ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立如果λ¹0，μ¹0，¹有：

17、λ(μ)

18、=

19、λ

20、

21、μ

22、=

23、λ

24、

25、μ

26、

27、

28、

29、(λμ)

30、=

31、λμ

32、

33、

34、=

35、λ

36、

37、μ

38、

39、

40、∴

41、λ(μ)

42、=

43、(λμ)

44、如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ¹0，μ¹0，¹当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴

45、(λ+μ)

46、=

47、λ+μ

48、

49、

50、=(

51、λ

52、+

53、μ

54、)

55、

56、

57、λ+μ

58、=

59、λ

60、+

61、μ

62、=

63、λ

64、

65、

66、+

67、μ

68、

69、

70、=(

71、λ

72、

73、+

74、μ

75、)

76、

77、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即：

78、(λ+μ)

79、=

80、λ+μ

81、当λ、μ异号，当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向还可证：

82、(λ+μ)

83、=

84、λ+μ

85、∴②式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立OABB1A1当¹，¹且λ¹0，λ¹1时1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，作λλ则+λ+λ由作法知：∥有ÐOAB=ÐOA1B1

86、

87、=λ

88、

89、∴λ∴△OAB∽△OA1B1∴λÐAOB=ÐA1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，

90、

91、=

92、λ

93、与λ方向也相同AOBB1A1λ(+)=λ+λ当λ<0时

94、可类似证明：λ(+)=λ+λ∴③式成立4．例一（见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量(¹)、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义知：与为共线向量若与共线(¹)且

95、

96、：

97、

98、=μ，则当与同向时=μ当与反向时=-μ从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使=λ2．例二（P104-105略）三、小结：四、作业：课本P105练习P107-108习题5.31、2