实数与向量的积新课标教案

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1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案德卧中学高中部数学组教学分析：向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算。教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系。实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，又有方向。特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错。尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量。共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系。教学目标：

2、1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量积的运算律。2.理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。3.通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取的精神。通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用。重点难点：教学重点：1.实数与向量积的意义。2.实数与向量积的运算律。3．两个向量共线的等价条件及其运用。教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用课时安排：1课时教学方法：启发式

3、教学法授课类型：新授课教与学过程：一．引入1．复习上节要点问题：已知非零向量,试作出++和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN==++=3==(-)+(-)+(-)=-3讨论：1°3与方向相同且

4、3

5、=3

6、

7、2°-3与方向相反且

8、-3

9、=3

10、

11、2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量的积，记作：λ定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ1°

12、λ

13、=

14、λ

15、

16、

17、2°λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=3．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ②第二分配律：λ(

18、+)=λ+λ③结合律的证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立如果λ¹0，μ¹0，¹有：

19、λ(μ)

20、=

21、λ

22、

23、μ

24、=

25、λ

26、

27、μ

28、

29、

30、

31、(λμ)

32、=

33、λμ

34、

35、

36、=

37、λ

38、

39、μ

40、

41、

42、∴

43、λ(μ)

44、=

45、(λμ)

46、如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ¹0，μ¹0，¹当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴

47、(λ+μ)

48、=

49、λ+μ

50、

51、

52、=(

53、λ

54、+

55、μ

56、)

57、

58、

59、λ+μ

60、

61、=

62、λ

63、+

64、μ

65、=

66、λ

67、

68、

69、+

70、μ

71、

72、

73、=(

74、λ

75、+

76、μ

77、)

78、

79、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即：

80、(λ+μ)

81、=

82、λ+μ

83、当λ、μ异号，当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向还可证：

84、(λ+μ)

85、=

86、λ+μ

87、∴②式成立第二分配律证明：OABB1A1如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当¹，¹且λ¹0，λ¹1时1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，作，，λλ，则+，λ+λ由作法知：∥有ÐOAB=ÐOA1B1，

88、

89、=λ

90、

91、∴λ∴△OAB∽△OA1B1

92、∴λ，ÐAOB=ÐA1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，

93、

94、=

95、λ

96、与λ方向也相同λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明：λ(+)=λ+λAOBB1A1∴③式成立例1计算：（1）；（2）；（3）[说明]该例由学生阅读。三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量(¹)、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义知：与为共线向量若与共线(¹)且

97、

98、：

99、

100、=μ，则当与，同向时=μ当与反向时=-μ，从而得：定理：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使=λ例2如图5—16，已知，，试判断与是否共线。

101、[解]∵EACBD∴与共线。三、小结：四、作业：课本P90练习3,4,5P91习题4,9