实数与向量的积(2)

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1、5．2实数与向量的积要点透视：1．根据平面向量基本定理，就可以用两个不共线的向量来表示一个向量，找到它们之间的关系，这也被称为向量的线性运算．2．在证明三点共线或三线共点时，同样可用向量的线性运算加法计算．3．在解具体问题时，适当地选取基底向量，使其他向量能够用基底向量来表示，这样几何问题就能转化为代数运算问题．活题解析：例1．(2003年江苏卷)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0,+∞)，，则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心要点精析：将P满足的关系式改写为．即与∠A的平分线共线，故选B.例

2、2．则如图所示，以O点为起点的三个向量，，的终点A，B，C在同一直线的充要条件是＝α+β，（α，β∈L,α+β=1）.要点精析：A，B，C三点中任意两点构成的向量均可用，，来表示，再利用向量共线的充要条件进行证明．证明：（1）必要性若A，B，C在同一直线上，则存在实数λ，使得，所以，即－=λ(－)，整理=(1－λ)+λ，令1－λ=α，λ=β，有=α+β，且α+β=1．（2）充分性若=α+β，α+β=1，则＝(1－β)+β，－=β(－)，即，所以（β∈L），所以A，B，C在同一直线上．思维延伸：证三点共线，可转化为证这三点中每两点组成的某两个向量共线．例3．如

3、图所示，PQ过△OAB的重心G，，求证：.要点精析：因为G是△OAB的重心，则可用，表示，用P，Q，G三点共线，可找出m，n之间的关系．证明：连OG并延长至M，则M为AB的中点，因为G为△OAB的重心，∴==(+)，又=(+)－m=(－m)+,同理=+(－n)，因为共线，所以，即(－m)+=λ[+(－n)]，，所以m＋n=3mn，所以思维延伸：本题利用向量共线的条件为＝λ，从而找到突破点，能加深学生对共线向量的理解．练习题一、选择题1．

4、+

5、=

6、

7、+

8、

9、（≠）成立的充要条件是（）A．=λ（λ∈L）B．a＝λ（λ>0）C．=λ（λ<0）D．λ=或＝（λ>0）2

10、．若，共线，且=3，=－5，且，则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰梯形3．λ+μ＋＝0成立的充要条件是（）A．

11、λ

12、=

13、μ

14、=

15、

16、B．λ=μ=C．λ+μ+=0D．λ=μ==04．在△ABC中，已知，则等于（）A．B．C．D．5．设两非零向量，不共线，且k+与+k共线，则k的值是（）A．1B．－1C．±1D．06．设，是不共线向量，=+k，=m+（k，m∈L），则A，B，C三点共线的充要条件是（）A．k＋m＝0B．k＝mC．km＋1＝0D．km＝1二、填空题：7．已知平行四边形ABCD的对角线交于点E，设AB＝，=，则用，表示E

17、D的表达式为．8．，是两不共线的向量，且=2＋k，=＋3，=2－，若A，B，D三点共线，则k＝．9．给出下列命题：①若，共线且

18、

19、=

20、

21、，则(－)//(+)；②已知=2，=3，则=；③若=－，=－3+3且≠，则

22、

23、=3

24、

25、；④在△ABC中，AD是BC边上的中线，则，其中正确的序号是。10．设，是两个不共线的向量，则向量=－＋k（k∈L）与向量=－2共线的充要条件是。三、解答题11．证明△ABC的三条中线交于一点．12．如图所示，已知梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别是AD与BC边上的中点，且BC＝3AD，＝，=，试以，为基底向量表示．13．如图所示，在

26、△ABC中，A1，A2，A3，……，An是BC边上的n个等分点，满足

27、BA1

28、=

29、A1A2

30、=

31、A2A3

32、=……=

33、AnC

34、，若=，＝，试用，表示向．14．已知线段AB和点O，求证：（1）若M是线段AB的中点，则；（2）若（t∈L），则．15．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD，O是原点，且=，=，=，，E在BA上，且BE：EA＝1：3，F在BD上，且BF：FD=1：4，用，，，分别表示，并判断E，F，C三点是否共线．=，∴，即E,F,C三点共线。