2012年高考第一轮复习数学：5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积

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1、第五章平面向量●网络体系总览●考点目标定位1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.●复习方略指南向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题

2、的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有：（1）与“定比分点”有关的试题；（2）平面向量的加减法运算及其几何意义；（3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题；（4）正、余弦定理的应用.复习本章时要注意：（1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.（3）向量的加、减、数乘积是

3、向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.5.1向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积●知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法

4、：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作

5、a

6、或

7、

8、.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.（3）运算律

9、：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.4.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：

10、λa

11、=

12、λ

13、

14、a

15、.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.5.两个重要定理：（1）向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数

16、λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.●点击双基1.（2004年天津，理3）若平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且

17、b

18、=3，则b等于A.（－3，6）B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3）解析：易知a与b方向相反，可设b=（λ，－2λ）（λ＜0）.又

19、b

20、=3=，解之得λ=－3或λ=3（舍去）.∴b=（－3，6）.答案：A2.（2004年浙江，文

21、4）已知向量a=（3，4），b=（sinα，cosα），且a∥b，则tanα等于A.B.－C.D.－解析：由a∥b，∴3cosα=4sinα.∴tanα=.答案：A3.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于A.b+aB.b－aC.a+bD.a－b解析：=－=+－=+－=b－a.答案：B4.e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于A.0B.－1C.－2D.±1解析：a与b共线存在实数m，使a=mb，即e1+ke2=mke1+me2.又e1、e2不共线，∴∴k=

22、±1.答案：D5.若a=“向东走8km”，b=“向北走8km”，则｜a+b

23、=_______，a+b的方向是_______.解析：

24、a+b

25、==8（km）.答案：8km东北方向●典例剖析【例1】已知向量a、b满足

26、a

27、=1，

28、b

29、=2，

30、a－b

31、=