初等函数 映射.doc

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1、1．映射　我们在中学已学过集合与映射的概念．映射是集合与集合间的对应关系，它是社会或自然界中错综复杂的事物间相互依赖关系的反映． 例如:y是x的儿子，我们说y与x对应．假如这对父母有三个儿子，我们可以用右图表示:　这里父母亲集合X={x1，x2}，儿子集合Y={y1，y2，y3}，x(可取值x1，x2)称为自变量，y（可取值y1，y2，y3）称为因变量．这是一个多值对应，与一个自变量值对应的因变量值允许多于一个．如果说x是y的生父，那么x与y的对应(儿子对应他的生父)就是单值对应了，如右图所示．思考题.设A={a,b,c,d,e},B={0,1,

2、2}.(1)从A到B的映射，你能作出多少个来？(2)满足f(A)=B的映射f:AB有多少个？(3)满足f(a)f(b)f(c)f(d)f(e)的映射f:AB有多少个？(4)能不能找到一一对应的映射f:A B？2.函数定义　如果我们只研究实数集合(用R或(-∞,+∞)表示)或其子集合之间的单值对应,这种映射就是函数.函数定义.设X与Y都是R的子集合,对于X中每个元素(即数)x，按照一个确定的规则(记作f)，唯一对应着Y的一个元素y,常记作或y=f(x),则称f是集合X到集合Y的函数，记作x与y分别称为自变量与因变量，X称为定义域，y=f(x)也称为

3、函数f在x处的值.同时，也常用y=f(x),xÎX表示这个函数.当x取遍定义域中所有数时,对应函数值全体组成的集合f(X)={y

4、y=f(x),对某个xÎX}称为函数f:X®Y的值域.函数f的定义域与值域也分别用Df与Rf表示.注意.定义域、值域与对应规律是函数概念的三个要素.函数图像.直角坐标平面上的集合Gf　={(x,y)

5、xÎDf　,y=f(x)}称为函数y=f(x)的图像.例2.1.1一次(线性)函数f(x)=3x+2.这是纯数学函数,摒弃了任何实际意义,其自变量允许取任何实数,因此其定义域Df=R.给定x的任何一个实数后,先用3乘,再加

6、2，就得对应函数值.例如：f(4)=3×4+2=14.f就表示从x到3x+2的函数关系：此函数的值域显然是Rf=R,其图像是一条直线.　思考题.假设你在外地出差，住进了一个旅馆.请你用函数图像来描绘下列几件事情，其中纵坐标表示你离开旅馆的距离，横坐标表示时间：（1）你去参加一个会议，离开旅馆不久就发现忘记带公文包，于是马上返回旅馆带上公文包再走向会议地点.（2）你坐上一辆出租车，司机以常速度驾车，中途遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间.（3）会议组织者派出一辆汽车接你去开会，接你的恰是你的一位老朋友，于是心情轻松地与老朋友边聊边走，车开的很慢，过了

7、一段时间，发现快到开会时间了，于是你们加快速度赶路.3.分段函数　若函数f的定义域被分成若干部分,各部分间互不重叠，且各部分上f的对应规律用不同的方式表达,则f称为分段函数.例2.1.21996年起，天津市人民政府根据国家规定与天津市实际情况制订了个人所得税征收标准，其计算办法如下表所列．试建立每月个人应交纳的税款y与月收入x间的函数关系． 级数全月收入额x(元)税率(%)速算扣除数(元)11000£x£15005021500

8、513756410001010004515375计算公式:月收入不超过1000元的不交个人所得税;月收入超过1000元的应纳税额=(月收入额-1000)´适用税率-速算扣除数举例:某人月收入额为3000元,则应纳税额为(3000-1000)´10%-25=175(元)解.根据上表可得函数y＝y(x)的表达式为：化简ß其图像如下图所示,它由斜率各不相同的九条线段与一条射线组成.这种函数称为分段函数，其特征是定义域被分成若干部分，各部

9、分间互不重叠，且各部分上对应关系由不同代数式确定．上述函数的定义域是[0,+¥).计算分段函数在给定自变量x=a处的函数值时，先找到a在定义域的哪个部分，然后用相应的函数定义方式计算．例如:上例中计算y(2500)时，由于1500<2500£3000，因此y(2500)=0.1´2500-125=125注.符号[0,+¥)表示集合{x

10、0£x<+¥},称为区间．其种类有开区间:(a,b)={x

11、a

12、x>a},(-¥,b)={x

13、x

14、a≤x≤b}；半开半闭区间:(a,

15、b]={x

16、a

17、a≤x

18、x≥a},(-∞,b]={x

19、x≤b}． 注意.不要把分段