高等数学同济第六版课件第一章总结.ppt

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1、第一章总结一、极限的概念1.各种极限过程的描述:当x→x0时:当时,当时:当时,当时:当时,当时:当时,当时:当时,当时:当时,当时:存在自然数N,当n>N时,2.极限的几何解释成立当

2、x

3、>X时,Aoxy则直线y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线.若当时,成立A二、极限的性质1.唯一性2.局部有界性3.不等式性质(局部)4.有界函数与无穷小的乘积性质5.充要条件三、无穷小与无穷大1.无穷小的定义2.无穷大的定义3.无穷小与无穷大的关系4.无穷小的比较5.等价无穷小的重要性质:(1)α~β的充要条件是β=α+o(α)(2)等价无穷小的代换定理6.重要的等价无穷小当x→0时,三、极限

4、存在准则、两个重要极限1.夹逼准则2.单调有界准则3.求极限的方法:(1)若f(x)为初等函数,x0在其定义区间内,用(代入法)(2)若外层函数连续内层函数的极限存在,则极限号可以穿过外层函数号。(3)变量替换(4)利用不为零的无穷小的倒数是无穷大(5)利用有界函数和无穷小的积是无穷小分别是m,n次多项式(10)若底数极限大于0,指数极限存在,(7)型的极限,分子、分母同除以最大项(8)型的极限:约掉零因子、等价无穷小代换等(9)型的极限,化为第二个重要极限则可以指数底数同时取极限(11)利用极限存在准则求极限练习题则a=___,b=___1.设2.设则a=___,b=___2一、

5、填空题二、计算下列极限四、连续的概念1.函数y=f(x)在点x0连续2.左右连续3.连续的充要条件五、间断点及其分类可去型第一类间断点跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx研究函数的连续性问题:1.确定定义域。2.找出孤立点,必为间断点。3.找出定义区间的边界点、分段函数的分界点,由极限判断是否是间断点。4.指出函数的连续区间。例1设,研究f(x)的连续性。三、连续函数的性质、初等函数的连续性1.连续函数的四则运算2.反函数的连续性3.复合函数的连续性4.初等函数在其定义区间上连续5.重要结论:当…时,“极限号”可以“穿过”外层“函数号”四、闭区间上连续函数的性质最值定理

6、,有界性定理、零点定理、介值定理(A)连续点(B)可去间断点(C)跳跃间断点(D)无穷间断点则x=1是f(x)的()2.设则x=1是f(x)的()(A)连续点(B)跳跃间断点(C)无穷间断点(D)振荡间断点一、选择3.极限的结果是()(A)0(B)(C)(D)不存在4.极限的结果是()(A)无穷大(B)0(C)(D)不存在,也非无穷大(A)可去(B)跳跃(C)无穷(D)振荡5.设则x=1是f(x)的()间断点2.设f(x)处处连续,且f(2)=3,则在区间________是连续的。二、填空在x=0点连续,则常数a=_____三、确定的间断点,并判断类型。四、设研究f(x)的连续性。

7、五、设函数f(x)在连续,且0

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