高等数学(同济第六版)课件 第一章 2.数列的极限.ppt

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1、第二节数列的极限一、数列极限的概念定义：若按某种法则，对每个自然数n，对应着一个确定的实数xn，将xn按n从小到大顺序排列起来所得到的一列数，称为数列，简记为{xn}。(注：数列是整标函数：xn=f(n))。如:1,…,－1,1,－1,…直观定义若当n无限增大时,数列xn对应的项无限接近于常数a,则称常数a为数列xn的极限,记为思考(1)数列xn的极限与其前有限项是否有关？无关！(2)数列xn的极限与数列xn+5的极限有何关系？相同！如何表达可以使数列极限的定义严格化？对任意小的正数ε，成立当n无限增大时,xn无限接近于a当n无限增大时

2、,xn无限接近于a当n无限增大时,

3、xn－a

4、无限接近于0当n无限增大时,对当n足够大时,成立若只需只需=N(自然数)换一种说法：存在自然数N当n>N时，成立存在自然数N当n>N时，成立思考：一般情况存在自然数N,当n>N时，成立总存在自然数N,当n>N时,成立定义那么就称常数a是数列的极限,或称数列收敛于a记为:如果数列没有极限,就说数列是发散的.自然数N当n>N时，成立例1证明（p为大于0的常数）证由得则当n>N时，取必成立自然数N当n>N时，成立例2若0<

5、q

6、<1，证明证若必有小结（一）1.数列极限的定义：2.用定义证明数列极限

7、的思路：解不等式得:取（或）用定义证明：一般地：若数列{yn}有界，是否必有自然数N当n>N时，成立自然数N当n>N时，成立因为数列yn有界，所以存在常数M>0,使

8、yn

9、≤M，对存在自然数N,当n>N时,成立有故结论：若数列{yn}有界，有界数列与无穷小量的乘积还是无穷小量则即sinn!有界，例3求数列的极限定理1若数列{xn}收敛，则它的极限唯一.证故收敛数列极限唯一.二、收敛数列的性质定理2收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.得定理3若则存在自然数N，当n>N时，都有xn>b.且a

10、>b，（含义：若数列的极限大于数b，则必从某一项开始，该数列之后的所有项都大于数b）证：因为所以对存在自然数N，当n>N时，都有即故xn>b(或aN时，成立推论若且存在自然数N，当n>N时，都有xn>b，则a≥b，（含义：若数列的极限存在，且从某一项开始该数列的各项都大于数b，则该数列的极限必大于等于数b）三、数列极限的存在准则准则:单调有界数列必有极限.证明数列收敛。+···+······即{xn}是有界数列.+······即{xn}是单增数列.0

11、3.数列极限的性质：（1）唯一性（2）有界性（3）不等式性质（4）有界数列与无穷小量的乘积还是无穷小量小结（二）4.常用的结论：（其中C为常数）（其中p为大于零的常数）（p为自然数）4.单调有界准则5.重要极限作业：1.求下列极限2.设证明数列{xn}的极限存在3.课本P31：T2，T3（2）