同济大学)高等数学课件D12数列的极限

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1、第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节机动目录上页下页返回结束数列的极限数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),当n>N时,用其内接正n边形的面积总有刘徽目录上页下页返回结束定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>N时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称该数列的极限为a,机动目录上页下页返回结束例如,趋势不定收敛发散机动目录上页下页返回结束例1.已知证明数列的极限为1.证:欲

2、使即只要因此,取则当时,就有故机动目录上页下页返回结束例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取机动目录上页下页返回结束例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.机动目录上页下页返回结束二、收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式机动目录上页下页返回结束例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列

3、收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N时,有因此该数列发散.机动目录上页下页返回结束2.收敛数列一定有界.证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列机动目录上页下页返回结束3.收敛数列的保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动目录上页下页返回结束*********************4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时

4、,有从而有由此证明*********************机动目录上页下页返回结束三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.则原数列一定发散.机动目录上页下页返回结束说明:1.夹逼准则(准则1)(P50)证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故机动目录上页下页返回结束例5.证明证:利用夹逼准则.且由机动目录上页下页返回结束2.单调有界数列必有极限(准则2)(P52)(证明略)机动目录上页下页返回结束例6.设证明数列极限存在.(P52～P54)证:利用二项式公式,有机动目录

5、上页下页返回结束大大正又比较可知机动目录上页下页返回结束根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.原题目录上页下页返回结束又*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有柯西目录上页下页返回结束内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则机动目录上页下页返回结束思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法

6、2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处机动目录上页下页返回结束作业P301(2),(3),4,6P564(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证第三节目录上页下页返回结束故极限存在，备用题1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并

7、纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.的方法:柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,