D12数列极限PPT课件

《D12数列极限PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章三、收敛数列的性质五、数列极限存在的判别定理二、数列极限的定义第二节机动目录上页下页返回结束数列的极限一、数列的有关概念四、数列极限的四则运算法则一、数列的有关概念1.数列★按照一定顺序排列的一串“有头无尾”的数称为无穷数列（简称数列），记成其中称为数列的第n项或通项。机动目录上页下页返回结束★数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取点:★数列是整标函数数列的几何意义.机动目录上页下页返回结束2.有界数列定义2.1.对数列机动目录上页下页返回结束若有使得则称数列有上界；若有使得则称数列有下界；若数列即有上界又有下界，则称数列是有

2、界的。例如,有界无界机动目录上页下页返回结束3.单调数列对于数列机动目录上页下页返回结束则称数列是单调增加的；若则称数列是单调减少的；若n=19n=32n=42n=50二、数列极限的概念问题:1)当n无限增大时,数列xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何用数学语言描述?2)“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.机动目录上页下页返回结束随着n的增加，1/n会越来越小。我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程度机动目录上页下页返回结束只要n无限增大，xn就会与1无限靠近。引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。机动目录上页下页

3、返回结束定义2.3给定数列如果存在常数A，使得（无论它多么小），使得当时，绝对值不等式恒成立，则称数列以A为极限，记为或者若数列存在极限，则称此数列收敛，否则称此数列发散或不收敛。机动目录上页下页返回结束例如,趋势不定收敛发散机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束用数学语言给出极限的定义：几何解释:机动目录上页下页返回结束由此可知，改变数列的有限项不会影响其敛散性.讨论第18页思考题。数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：机动目录上页下页返回结束例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.机动目录上页下页返回结束例3证明分

4、析证明(设),要使或只要则当n>N时,就有所以机动目录上页下页返回结束注:用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).有时找N比较困难，可把不等式适当变形、放大。机动目录上页下页返回结束例4(常用结论)证机动目录上页下页返回结束思考：三、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一证:假设同时有及且按极限的定义，对于存在充分大的正整数N，使当n>N时,同时有及因此同时有及矛盾.所以只能有A=B.机动目录上页下页返回结束例5.证明数列是发散的.证:用反

5、证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N时,有因此该数列发散.机动目录上页下页返回结束定理2(收敛数列的有界性)收敛数列{xn}一定有界.证:设取则当时,有从而有取则有由此证明收敛数列必有界.注:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列机动目录上页下页返回结束定理3(收敛数列的保号性)若时,有证:对A>0,取机动目录上页下页返回结束记清结论哦！A<0的情形可类似证明推论1若推论2若对数列说明：如果将条件机动目录上页下页返回结束将定理3中的两种情况综

6、合起来，有定理4(归并性）如果数列{xn}收敛于A的充要条件是它的任一子数列也收敛于A.证:（必要性）设数列是数列的任一子列.因为所以当时,有现取正整数K由此证明机动目录上页下页返回结束当时,有从而有如何取？定理4(归并性）如果数列{xn}收敛于A的充要条件是它的任一子数列也收敛于A.（充分性）因为数列本身也是它自己的一个子列所以充分性显然成立。机动目录上页下页返回结束1.无界数列必定发散.2.一子列发散,则数列发散.3.两子列收敛到不同的极限,则数列发散.例6证：由以上性质可以得到发散数列判别法:机动目录上页下页返回结束例7(结论）对于数列{x

7、n}，若机动目录上页下页返回结束四、数列极限的四则运算法则定理2.5.设则有机动目录上页下页返回结束特别有（k为常数）P24★利用数列极限的运算法则时，要注意其前提条件——机动目录上页下页返回结束★数列极限运算法则（1）（2）可以推广到有限多项的情况。讨论P25思考题★利用数列极限的运算法则及常用结论，可以求数列的极限。常用结论：机动目录上页下页返回结束例8求下列极限机动目录上页下页返回结束解答：机动目录上页下页返回结束同除分母的最高次幂。碰到有根号时，一般都要做有理化。机动目录上页下页返回结束裂项机动目录上页下页返回结束相减得：机动目录上页下页

8、返回结束先化简通项从而于是原式机动目录上页下页返回结束如何机动目录上页下页返回结束如何判断数列的极限是否存在？其中问题：五、数列极限存在