高等数学同济第六版

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1、第七章常微分方程高等数学所研究的函数，是反映客观世界运动过程中量与量之间的一种关系。但在实际问题中遇到稍为复杂的一些运动时，反应量与量之间的关系往往不能直接写出来，却比较容易地建立起这些变量及它们的导数（或微分）间的关系。这中联系着自变量、未知函数及它的导数（或微分）的关系式，数学上称为微分方程。解一、问题的提出§1.微分方程的基本概念P294-1解P294-2代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需微分方程:凡表示未知函数、未知函数的导数或微分及自变量之间关系的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的

2、关系式.二、微分方程的定义微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.分类1:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分

3、曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.解P297-3所求特解为问题1：是否所有的微分方程都存在通解？以上三个方程，有的没有实函数解；有的有解，但解中不含任意常数。所以，上述三个方程都不存在通解。问题2：微分方程的通解是否包含它所有的解？答：微分方程的通解不一定包含它所有的解。特殊的：未知函数的最高阶导数的系数为1的线性微分方程的通解能包含所有的解。微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；初值问题；积分曲线．小结本节基本概念：思考题思考题解答中不含任意常数,故

4、为微分方程的特解.练习题练习题答案作业P298：5、6